równanie

[robin5hood]

rozwiąż
\(\displaystyle{ cos(x) +cos(y)-cos(x+y)= \frac{3}{2}}\)

[Sylwek]

Mocniej, zawsze zachodzi: \(\displaystyle{ \cos x + \cos y - \cos(x+y) \leqslant \frac{3}{2}}\), dowód opiera się na prostych tożsamościach trygonometrycznych i nierównościach: \(\displaystyle{ |\cos x| \leqslant 1}\) bądź \(\displaystyle{ |\sin x| \leqslant 1}\) (w tej nierówności będzie równość, gdy we wszystkich nierównościach po drodze też będzie równość). Skoro próbujesz robić ambitniejsze zadanka, to nie będę Ci psuł zabawy i sam spróbujesz udowodnić tą nierówność, bo chyba w takich zadaniach chodzi o to, aby coś zrobić samodzielnie? Tylko w ten sposób można się czegoś nauczyć.

[robin5hood]

dla mnie nie ma zadań ambitniejszych, niekiedy proste zadanie sprawia mi ogromne trudności

[JankoS]

Mocniej,

Przepraszam, ale czegoś nie rozumiem.
Po co dowodzić tej nierówności, skoro ma się rozwiazać równanie. Nawet jeżeli jest ona prawdziwa, to prawie nic to "zleceniodawcy" nie da.

[Sylwek]

Nawet jeżeli jest ona prawdziwa, to prawie nic to "zleceniodawcy" nie da.

Wówczas we wszystkich nierównościach zastosowanych po drodze musi zachodzić równość. Tej nierówności dowodzi się praktycznie w ten sam sposób jak równania, także nie ma problemu (zamiast \(\displaystyle{ |\sin a| qslant 1}\) trzeba będzie sprawdzić, kiedy \(\displaystyle{ |\sin a|=1}\), gdzie a uzyska się po zastosowaniu odpowiednich tożsamości trygonometrycznych.

Być może to równanie nie jest najlepszym przykładem na wspomożenie się nierównością przy rozwiązywaniu, lecz np.: bez znajomości nierówności pomiędzy średnimi niezwykle uciążliwe byłoby rozwiązanie równania: \(\displaystyle{ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=5abcde}\) w liczbach dodatnich.

[JankoS]

Być może

Dziękuję za odpowiedź. Pojąłem (albo mi się tak wydaje) ideę Kolegi.
Pozdrawiam.
Czy mógłby Kolega poświęcić czas na przyjrzenie sę zadniu 3
https://matematyka.pl/82942.htm

[robin5hood]

moglibyście napisać to rozwiązanie

[Sylwek]

Jakieś próby? Zamieszczasz codziennie po kilka problemów trudniejszych od poziomu szkolnego, ale takich "do wymyślenia" - jaki jest sens, jak się tylko czyta rozwiązania, a po kilku(nastu) dniach już wszystko z głowy wyleci? Może wypadałoby podjąć pewien wysiłek w samodzielnym rozwiązywaniu problemów?

Dowód nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}-\cos x - \cos y + \cos(x+y)= \\ =\frac{3}{2}-2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}+2 \cos^2\frac{x+y}{2}-1 \geqslant \\ \geqslant \frac{1}{2}-2|\cos \frac{x+y}{2}|+ 2 |\cos \frac{x+y}{2}|^2=2(\frac{1}{2}-|\cos \frac{x+y}{2}|)^2 \geqslant 0}\)

Kiedy zachodzi równość raczej nie będzie problemu z ustaleniem?

[robin5hood]

moja sprawa co robie codziennie