Dowód na trójkąt w kwadracie.

[kwasimir]

Wykaż, że pole trójkąta zawartego w kwadracie o boku długości 1 nie jest większe niż sinus kąta wewnętrznego tego trójkąta.

Jeśli możecie to zapiszcie mi to tak, żebym to mógł oddac babce. Z dowodów jestem kiepski i nigdy nie potrafiłem robić takich zadań. Z góry dzięki

[Lady Tilly]

Wyobraż sobie ,że w kwadracie istnieje trójkąt prostokątny taki, że dwie przyprostokątne są bokami kwadratu więc mają długość 1, natomiast przeciwprostokątną jest przekątna kwdratu. Kąt przy przyprostokątnych ma oczywiście miarę 90° a dwa pozostałe po 45°. Sinus kąta 45° wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) czyli w przybliżeniu 0,707106781...
Natomiast pole tego trójkąta wyniesie 0,5. To kończy dowód.

[g]

to jest zaden dowod. skad wiesz, ze ten trojkat jest najwiekszy?

[Lady Tilly]

No właśnie czyli poniekąd mam rację lecz kierowałam się czymś innym. Jeżeli chodzi o to pole największego trójkąta to przecież wzór na pole trójkąta to 0,5ah. Oznaczmy wierzchołki kwadratu ABCD wierzchołki A i B będą zarazem wierzchołkami trójkąta. Trójkąt jest największy wtedy gdy ma maksymalnie dużą wysokość h oraz podstawę a. W tym przypadku wysokość oraz podstawa nie mogą być większe od 1 bo ogranicza je kwadrat nie? tak więc gdyby pozostawić stałą podstawę AB trójkąta i manipulować trzecim wierzchołkiem trójkąta, który zawierałby się pomiędzy wierzchołkiem C oraz D kwadratu to i tak wysokość wyniesie 1 i będzie równa odcinkowi BC i AD kwadratu.

[g]

no zgadza sie, z tym, ze tego nie pokazalas za pierwszym razem.

[kwasimir]

Czyli w takim razie karolina25 dobrze podała mi rozwiązanie takk??

[juzef]

Nie. Poprawny dowód masz w odnośniku, który podał g.

[Lady Tilly]

Pewnie oba rozwiązania są dobre ale kwasimir myślę, że powinieneś jednak posłuchać się g ponieważ sam sposób udowodnienia jest bardziej na miejscu.