Tożsamości trygonometryczne

[liquido]

Witam,
pomoglibyście z 4 przykładami?

1. Zapisz wyrażenie w prostszej postaci:

\(\displaystyle{ \frac{1}{sin^{2}\alpha}*(1-cos^{2}\alpha)}\)


2. Sprawdź, czy równość jest toższamością trygonometryczną. Podaj konieczne założenia:

\(\displaystyle{ \frac{tg\alpha*(1+ctg^{2}\alpha)}{1+tg^{2}\alpha}=ctg\alpha}\)


3. Sprawdź, czy równość jest toższamością trygonometryczną. Podaj konieczne założenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-cos\alpha}+\frac{1}{1+cos\alpha}=\frac{2}{sin^{2}\alpha}}\)


4. Sprawdź, czy równość jest toższamością trygonometryczną. Podaj konieczne założenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-sin\alpha}+\frac{1}{1+sin\alpha}=\frac{2}{cos^{2}\alpha}}\)

Za wszelką okazaną pomoc serdeczne dzięki!

[Dargi]

W pierwszym \(\displaystyle{ 1-cos^2\alpha=sin^2\alpha}\) z jedynki tryg.
Wiec dostaniemy wynik 1.

[Mersenne]

Zad. 2

\(\displaystyle{ \frac{tg\alpha(1+ctg^{2}\alpha)}{1+tg^{2}\alpha}=ctg\alpha}\)

założenie: \(\displaystyle{ \begin{cases} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ \neq k\pi \end{cases} \iff \neq \frac{k\pi}{2}, k\in C}\)

\(\displaystyle{ L=\frac{tg\alpha(1+ctg^{2}\alpha)}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{tg\alpha ft(1+\frac{1}{tg^{2}\alpha} \right)}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{tg\alpha \frac{tg^{2}\alpha+1}{tg^{2}\alpha}}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{\frac{tg^{2}\alpha+1}{tg\alpha}}{1+tg^{2}\alpha}=\frac{tg^{2}\alpha+1}{tg\alpha(1+tg^{2}\alpha)}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{tg\alpha}=ctg\alpha}\)

\(\displaystyle{ L=P}\)

Zatem podana równość jest tożsamością trygonometryczną.

[mmoonniiaa]

4.
Zał.: \(\displaystyle{ \begin{cases} sin\alpha 1 \\ sin\alpha -1 \\cos^2\alpha 0 \end{cases} \begin{cases} \frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \frac{-\pi}{2}+2k\pi \\ \frac{\pi}{2}+k\pi \end{cases} \frac{\pi}{2}+k\pi k C}\)
\(\displaystyle{ L= \frac{(1+sin\alpha)+(1-sin\alpha)}{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha)} = \frac{2}{1-sin^2\alpha}= \frac{2}{cos^2\alpha}=P}\)

[anibod]

Zadanie 3


\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\cos }+ \frac{1}{1+\cos } = \frac{2}{\sin ^{2} }}\)
Zał: \(\displaystyle{ \begin{cases} \cos 1 \\ \cos -1\\ \sin^{2} 0\end{cases} \begin{cases} 0 +2k \pi \\ - \pi + 2k \pi \\ 0 + k \pi \end{cases} \pi + k \pi}\)
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{1-\cos }+ \frac{1}{1+\cos } = \frac{1+\cos }{(1- \cos )(1+ \cos )}+ \frac{1- \cos }{(1+ \cos )(1- \cos )} = \frac{1+ \cos + 1 - \cos }{1 - cos ^{2} } = \frac{2}{\sin^{2} } =P}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)

[liquido]

Dziękuję wszystkim za zainteresowanie problemem i pomoc - zasłużone plusiki lecą.