oblicz sin(u+t) znajac...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
bjera
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 24 sty 2008, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 32 razy

oblicz sin(u+t) znajac...

Post autor: bjera »

oblicz sin(u+t) znajac:

\(\displaystyle{ \sin u = \frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin t = \frac{1}{7}}\)

oraz wiedząc, że:

\(\displaystyle{ u,t \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]}\)

Wiedząc, że katy u i t znajdują się w pierwszej ćwiartce oraz znając wartości ich sinusów można policzyć ile wynoszą ich cosinusy:

\(\displaystyle{ \cos u = \frac{2 \sqrt 6}{5}}\)

\(\displaystyle{ \cos t = \frac{4 \sqrt 3}{7}}\)

no i nalezy teraz skorzystać z wzoru na sumę argumentów sinusa, dostając taki wynik:

\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt 3 + 2 \sqrt 6}{35}}\)

Moje pytania:

1] czy to jest dobrze?
2] czy można to zrobić innym sposobem (jestem na studiach, a zadanie jest znane z liceum)... wzory Moivre'a? jeśli tak to proszę o takowe rozwiazanie :)

pozdro
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

oblicz sin(u+t) znajac...

Post autor: mmoonniiaa »

Rozwiązane jest dobrze, ale ja innego sposobu nie znam.
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

oblicz sin(u+t) znajac...

Post autor: Mersenne »

\(\displaystyle{ \sin (u+t)}\)

\(\displaystyle{ \sin u=\frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin t=\frac{1}{7}}\)

założenie: \(\displaystyle{ u, t\in ft}\)

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

\(\displaystyle{ \sin^{2} u+\cos^{2} u=1 \iff ft(\frac{1}{5}\right)^{2}+\cos^{2} u=1 \iff \cos^{2} u=\frac{24}{25} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \cos u=-\frac{2\sqrt{6}}{5} \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ u\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\).

Analogicznie:

\(\displaystyle{ \sin^{2} t+\cos^{2} t=1 \iff ft(\frac{1}{7}\right)^{2}+\cos^{2} t=1 \iff \cos^{2} t=\frac{48}{49} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \cos t=-\frac{4\sqrt{3}}{7} \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ t\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\).

Ze wzoru na sumę kątów sinusa, mamy:

\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\sin u\cos t+\cos u\sin t}\).

Podstawiając, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\frac{1}{5}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}+\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{1}{7}= \frac{4\sqrt{3}}{35}+\frac{2\sqrt{6}}{35}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{3} (2+\sqrt{2})}{35}}\)

Twoje rozwiązanie jest poprawne.
ODPOWIEDZ