oblicz sin(u+t) znajac:
\(\displaystyle{ \sin u = \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin t = \frac{1}{7}}\)
oraz wiedząc, że:
\(\displaystyle{ u,t \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right]}\)
Wiedząc, że katy u i t znajdują się w pierwszej ćwiartce oraz znając wartości ich sinusów można policzyć ile wynoszą ich cosinusy:
\(\displaystyle{ \cos u = \frac{2 \sqrt 6}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos t = \frac{4 \sqrt 3}{7}}\)
no i nalezy teraz skorzystać z wzoru na sumę argumentów sinusa, dostając taki wynik:
\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt 3 + 2 \sqrt 6}{35}}\)
Moje pytania:
1] czy to jest dobrze?
2] czy można to zrobić innym sposobem (jestem na studiach, a zadanie jest znane z liceum)... wzory Moivre'a? jeśli tak to proszę o takowe rozwiazanie
pozdro
oblicz sin(u+t) znajac...
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
oblicz sin(u+t) znajac...
\(\displaystyle{ \sin (u+t)}\)
\(\displaystyle{ \sin u=\frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin t=\frac{1}{7}}\)
założenie: \(\displaystyle{ u, t\in ft}\)
Z jedynki trygonometrycznej mamy:
\(\displaystyle{ \sin^{2} u+\cos^{2} u=1 \iff ft(\frac{1}{5}\right)^{2}+\cos^{2} u=1 \iff \cos^{2} u=\frac{24}{25} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \cos u=-\frac{2\sqrt{6}}{5} \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ u\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\).
Analogicznie:
\(\displaystyle{ \sin^{2} t+\cos^{2} t=1 \iff ft(\frac{1}{7}\right)^{2}+\cos^{2} t=1 \iff \cos^{2} t=\frac{48}{49} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \cos t=-\frac{4\sqrt{3}}{7} \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ t\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\).
Ze wzoru na sumę kątów sinusa, mamy:
\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\sin u\cos t+\cos u\sin t}\).
Podstawiając, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\frac{1}{5}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}+\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{1}{7}= \frac{4\sqrt{3}}{35}+\frac{2\sqrt{6}}{35}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{3} (2+\sqrt{2})}{35}}\)
Twoje rozwiązanie jest poprawne.
\(\displaystyle{ \sin u=\frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin t=\frac{1}{7}}\)
założenie: \(\displaystyle{ u, t\in ft}\)
Z jedynki trygonometrycznej mamy:
\(\displaystyle{ \sin^{2} u+\cos^{2} u=1 \iff ft(\frac{1}{5}\right)^{2}+\cos^{2} u=1 \iff \cos^{2} u=\frac{24}{25} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \cos u=-\frac{2\sqrt{6}}{5} \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ u\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos u=\frac{2\sqrt{6}}{5}}\).
Analogicznie:
\(\displaystyle{ \sin^{2} t+\cos^{2} t=1 \iff ft(\frac{1}{7}\right)^{2}+\cos^{2} t=1 \iff \cos^{2} t=\frac{48}{49} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \cos t=-\frac{4\sqrt{3}}{7} \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ t\in ft}\), to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \cos t=\frac{4\sqrt{3}}{7}}\).
Ze wzoru na sumę kątów sinusa, mamy:
\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\sin u\cos t+\cos u\sin t}\).
Podstawiając, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin (u+t)=\frac{1}{5}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}+\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{1}{7}= \frac{4\sqrt{3}}{35}+\frac{2\sqrt{6}}{35}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{3} (2+\sqrt{2})}{35}}\)
Twoje rozwiązanie jest poprawne.