jak mam to obliczyć?:
\(\displaystyle{ tg\frac{4}{18}\pi*tg\frac{5}{18}\pi*tg\frac{6}{18}\pi}\)
wiem że musze zamienić tg na ctg, ale nie weim jak to zrobić!
oblicz
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
oblicz
\(\displaystyle{ tg\frac{4}{18}\pi tg \frac{5}{18} \pi tg \frac{6}{18} \pi=tg40^{\circ}\cdot tg50^{\circ}\cdot tg60^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg(90^{\circ}-40^{\circ})\cdot sqrt3=tg40^{\circ}ctg40^{\circ}\cdot sqrt3=sqrt3}\)
Korzystasz tutaj z wzorów redukcyjnych, tj: \(\displaystyle{ tg \beta=tg (90^{\circ}- )=ctg }\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ tg ctg =1}\).
Korzystasz tutaj z wzorów redukcyjnych, tj: \(\displaystyle{ tg \beta=tg (90^{\circ}- )=ctg }\) oraz z tego, że \(\displaystyle{ tg ctg =1}\).
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
oblicz
Można skorzystać również z takich zależności, jednak jest to troche ambitniejsza wersja:
\(\displaystyle{ sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta))\\ cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta))}\)
A więc mamy teraz:
\(\displaystyle{ tg(\frac{4}{18}\pi)\cdot tg(\frac{5}{18}\pi)\cdot tg(\frac{6}{18}\pi)=\\ =sqrt{3}\cdot tg(\frac{4}{18}\pi)\cdot tg(\frac{5}{18}\pi)=\\ =sqrt{3}\cdot \frac{cos(\frac{\pi}{18})-cos(\frac{\pi}{2})}{cos (\frac{\pi}{2})+cos(\frac{\pi}{18})}=\\ =sqrt{3}\cdot\frac{cos(\frac{\pi}{18})}{cos(\frac{\pi}{18})}=\\=sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta))\\ cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta))}\)
A więc mamy teraz:
\(\displaystyle{ tg(\frac{4}{18}\pi)\cdot tg(\frac{5}{18}\pi)\cdot tg(\frac{6}{18}\pi)=\\ =sqrt{3}\cdot tg(\frac{4}{18}\pi)\cdot tg(\frac{5}{18}\pi)=\\ =sqrt{3}\cdot \frac{cos(\frac{\pi}{18})-cos(\frac{\pi}{2})}{cos (\frac{\pi}{2})+cos(\frac{\pi}{18})}=\\ =sqrt{3}\cdot\frac{cos(\frac{\pi}{18})}{cos(\frac{\pi}{18})}=\\=sqrt{3}}\)