twierdzenie sinusów i cosinusów...

[madaf007]

Mam dwa zadanka twierdzenia cosinusów i sinusów.

1. Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120*, tworzą trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?

odpowiedź jest 1: \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\) : \(\displaystyle{ \frac{7}{3}}\). i taka jest wskazówka: Zastosuj z twierdzenia cosinusów do obliczenia stosunku \(\displaystyle{ \frac{a}{r}}\) (gdzie a jest długością najkrótszego boku trójkąta, a r - różnicą ciągu), a następnie wyraź tę różnicę w zależności od a

2. Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 4cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami 60*. Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta?

Tutaj widać, że jest to trójkąt równoboczny i wynik to 6 cm, ale jak to udowodnić w zapisie?

Taka jest wskazówka: Korzystając z twierdzenia cosinusów wyraź długości trzeciego boku trójkąta w zależności od długości jednego z tych boków, których suma długości wynosi 4cm.

To mój pierwszy post także jeśli coś zrobiłem nie tak, proszę o delikatne upomnienia:P

[JankoS]

Mam dwa zadanka twierdzenia cosinusów i sinusów.

1. Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120*, tworzą trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?

odpowiedź jest 1: \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\) : \(\displaystyle{ \frac{7}{3}}\). i taka jest wskazówka: Zastosuj z twierdzenia cosinusów do obliczenia stosunku \(\displaystyle{ \frac{a}{r}}\) (gdzie a jest długością najkrótszego boku trójkąta, a r - różnicą ciągu), a następnie wyraź tę różnicę w zależności od a

2. Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 4cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami 60*. Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta?

Tutaj widać, że jest to trójkąt równoboczny i wynik to 6 cm, ale jak to udowodnić w zapisie?

Taka jest wskazówka: Korzystając z twierdzenia cosinusów wyraź długości trzeciego boku trójkąta w zależności od długości jednego z tych boków, których suma długości wynosi 4cm.

To mój pierwszy post także jeśli coś zrobiłem nie tak, proszę o delikatne upomnienia:P

Oznaczam a długość najkrótszego boku, r - wartość różnicy ciągu. Z ywierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ (a+2r) ^{2}=a ^{2}+(a+r)^2-2a (a+r)cos120^\circ\\a^2+4ar+4r^2=2a^2+2ar+r^2+2(a^2+ar)sin30^\circ=3a^2+3ar+r^2\\3r^2+ar-2a^2=0, \ \Delta=(5a)^2, \ r_1=\frac{-a-5a}{6}}\)