W pewnym Trójkącie prostokątnym suma Cosinusów kątów ostrych wynosi \(\displaystyle{ \frac{ 2\sqrt{3} }{3}}\). Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.
Mogłbym mi to ktos jakoś objaśnic?Mam jutro spr. z takiego typu zadan
Trójkąt Prostokątny
Trójkąt Prostokątny
\(\displaystyle{ 2\frac{1}{\sqrt{3}}=cos{(90^{\circ}-x)}+cos{x}=2cos{45^{\circ}} cos{(45^{\circ}-x)}=\sqrt{2} cos{(45^{\circ}-x)}}\)
\(\displaystyle{ sin{x}sin{(90^{\circ}-x)}=\frac{cos{(90^{\circ}-2x)}-cos{90^{\circ}}}{2}}\)
Teraz jeszcze tylko wzór \(\displaystyle{ cos{2x}=2cos^2{x}-1}\), podstawić i liczyć
\(\displaystyle{ sin{x}sin{(90^{\circ}-x)}=\frac{cos{(90^{\circ}-2x)}-cos{90^{\circ}}}{2}}\)
Teraz jeszcze tylko wzór \(\displaystyle{ cos{2x}=2cos^2{x}-1}\), podstawić i liczyć
Trójkąt Prostokątny
Oczywiście
\(\displaystyle{ cos{x}+cos{y}=2cos{\frac{x+y}{2}} cos{\frac{x-y}{2}}}\)
\(\displaystyle{ sin{x}sin{y}=\frac{cos{(x-y)}-cos{(x+y)}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos{x}+cos{y}=2cos{\frac{x+y}{2}} cos{\frac{x-y}{2}}}\)
\(\displaystyle{ sin{x}sin{y}=\frac{cos{(x-y)}-cos{(x+y)}}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Trójkąt Prostokątny
Można prościej. Iloczyn sinusów jest oczywiście równy iloczynowi cosinusów. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ cosx = a \\
cos(\frac{\pi}{2} - x) = sinx = b}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ a + b = \frac{2}{\sqrt{3}}}\)
Po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^2 + 2ab + b^2 = \frac{4}{3}}\)
Wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i koniec.
\(\displaystyle{ cosx = a \\
cos(\frac{\pi}{2} - x) = sinx = b}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ a + b = \frac{2}{\sqrt{3}}}\)
Po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^2 + 2ab + b^2 = \frac{4}{3}}\)
Wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i koniec.