przedstaw wyrażenie w postaci iloczynu

[robert179]

Cześć, mam problem z poniszym zadanie:
\(\displaystyle{ 1+cos\alpha+cos{\frac{\alpha}{2}}}\)
próbowałem to zrobic tak:
\(\displaystyle{ 1+cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin^{2}\frac{\alpha}{2}+cos{\frac{\alpha}{2}}=1+cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1+cos^{2}\frac{\alpha}{2}+cos\frac{\alpha}{2}=2cos^{2}\frac{\alpha}{2}+cos{\frac{\alpha}{2}}=?}\)
...i dalej nie wiem jak! Prosze o pomoc!
PS: Mam otrzymać:\(\displaystyle{ cos{\frac{\alpha}{2}}*cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{4})*cos(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{4})}\).

[Tomasz Rużycki]

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\frac{\alpha}{2}}\) (żeby nie klepać tych ułamków ).

\(\displaystyle{ 2\cos^2x+\cos x=\cos x(2\cos x+1)=2\cos x\left(\cos x +\frac{1}{2}\right)=2\cos x\left(\cos x + \cos \frac{\pi}{3}\right)=4\cos x\cdot \cos ft(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}\).

Chyba napisałeś złą odpowiedź - tutaj jest 4 na początku


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[robert179]

tak, źle przepisałem!

[ Dodano: Sob Paź 22, 2005 9:22 pm ]
Możecie mi dać jakąś wskazówke do takiego przykładu:
\(\displaystyle{ 1+sin\alpha+cos\alpha+tg\alpha}\)?

[Tristan]

A do czegoś konkretnie chcesz dojść:)?.Tak z wolnych rozważań, to...
\(\displaystyle{ 1+ sin + cos + tg =\frac{cos + sin cos + cos^2 + sin }{cos }=\frac{cos (cos +1) + sin ( cos +1)}{cos }=\frac{(cos +1)\cdot(sin + cos )}{cos }}\)

[robert179]

mam otrzymać:\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)*\frac{1}{cos\alpha}}\)

[olazola]

Kontynuując myśl Tristana mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt2\(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\)\(\cos 0+\cos\alpha\)}{\cos\alpha}=2\sqrt{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\(\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha+\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha\)\cdot\frac{1}{\cos\alpha}=2\sqrt{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}\cos\(\frac{\pi}{4}-\alpha\)\cdot\frac{1}{\cos\alpha}}\)

[robert179]

Mam jeszcze jedno pytanie! Z kąd to się wzieło?
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt2\(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\)\(\cos 0+\cos\alpha\)}{\cos\alpha}}\)

[tommik]

\(\displaystyle{ \frac{(cos +1)\cdot(sin + cos )}{cos }=\frac{(cos +cos0)\cdot(sin +cos )}{cos }=\frac{(cos +cos0)\cdot(\frac{\sqrt{2}^{2}}{2}sin +\frac{\sqrt{2}^{2}}{2}cos )}{cos }=\frac{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sin +\frac{\sqrt{2}}{2}cos )(cos +cos0)}{cos }}\)

[mencio]

Mozna prosic o rozpisanie tego co Tommik napisal bo nie do konca rozumiem skad wzial sie \(\displaystyle{ \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}}\)