dowód i jedno równanie

[damiano14]

Witam! Jestem tu nowy. Dopiero uczę się tego języka więc wybaczcie za taką formę ale będzie to ostatni mój post w takiej formie.
Otóż mam problem z dwoma zadaniami:

1. Udowodnij że jeśli liczba a jest dodatnia, to liczba \(\displaystyle{ T= \frac{2\pi}{a}}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sin{(ax)}}\)

2.Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos{(x-1)} = x^2 - 2x +2}\)

jescze raz przepraszam za ten styl. Z góry thx za pomoc

[frej]

2. Jesteś pewny, że to ma tak wyglądać? Bo by wynikało z tego, że po prostu
\(\displaystyle{ cos{(x-1)}=-2x}\) ?

[ Dodano: 29 Sierpnia 2008, 15:22 ]
1.
KLIK

[damiano14]

przepraszam za pomyłkę! cos (x-1) = x^2 - 2x + 2 tak ma być

[frej]

No to teraz sporo łatwiej.
Podstawmy \(\displaystyle{ t=x-1}\), żeby się łatwiej liczyło. Mamy:
\(\displaystyle{ cos{t}=t^2+1 qslant 1}\), ale ponieważ \(\displaystyle{ -1 qslant cos{x} qslant 1}\), to musi być \(\displaystyle{ t=0}\), żeby \(\displaystyle{ t^2+1=1}\). Rozwiązaniem jest więc
\(\displaystyle{ t=0 x=1}\).

Poradnik \(\displaystyle{ \LaTeX}\) jest tutaj.

[damiano14]

thx frei! a potrafisz to pierwsze rozwiązać ?

[frej]

Potrafię Ale skoro ktoś napisał to na forum wcześniej, to dlaczego nie miałbym podać linka do tego rozwiązania ? Być może wcześniej nie zauważyłeś, bo link dodałem po napisaniu posta, ale w moim pierwszym poście podałem link do rozwiązania pierwszego zadania.

PS
Polecam opcję szukaj

[Malkolm]

Proponuję algebraiczny sposób rozwiązania tego równania.
\(\displaystyle{ cos(x-1)=x^2-2x+2}\)
\(\displaystyle{ cos(x-1)=(x-1)^2+1}\)
\(\displaystyle{ 1-cos(x-1)+(x-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ 2sin^2\left(\frac{x-1}{2}\right)+(x-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2}sin\left(\frac{x-1}{2}\right)\right)^2+(x-1)^2=0}\)

Stąd \(\displaystyle{ \sqrt{2}sin\left(\frac{x-1}{2}\right)=0}\) i \(\displaystyle{ x-1=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=1}\) jest jedynym rozwiązaniem tego równania.