Rozwiąż równianie

[Brzezin]

Rozwiąż równianie
btw w książce piszą o podstawieniu \(\displaystyle{ tan \frac{x}{2} = t}\), ale ja za bardzo tego nie widzę

\(\displaystyle{ \sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}}\)

Pozdrawiam
Maks

[Lider_M]

Można prościej niż takie podstawienie:

\(\displaystyle{ 2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin x-\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)=\sqrt{2}}\)
Teraz w nawiasie zwiń wzór na sinus różnicy, a potem już proste równanko.

[soku11]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin \frac{5\pi}{6}\sin x+\cos \frac{5\pi}{6}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos ft( x-\frac{5\pi}{6} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Dalej juz raczej prosto Pozdrawiam.

[frej]

Jeśli z prawej strony byłoby \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), to wtedy jest bardzo prosto z tangensem pół kąta, bo
\(\displaystyle{ sin{x}-\sqrt{3} cos{x}=\sqrt{3} sin{x}=\sqrt{3} (1-cos{x}) tg{\frac{x}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=tg{\frac{\pi}{6}}}\)
inaczej to też słabo widzę tego tangensa...

[Brzezin]

@frej niestety nie widzę tego tangensa w Twoim przykładzie, można jakoś prościej. Przyda mi się to do następnych przykładów. Acha, no i do jakich przykładów stosować tego tangensa.

Pozdrawiam

[frej]

\(\displaystyle{ tg{\frac{x}{2}}=\frac{1-cos{x}}{sin{x}}}\)

[Brzezin]

ale jak to? xD proszę o wyprowadzenie
no i jak poradzić sobie z takim koszmarem:
\(\displaystyle{ \tan x + \tan 2x = \tan 3x}\)

[frej]

Proszę, wyprowadzenie:
\(\displaystyle{ sin{ \frac{x}{2} }= \sqrt{\frac{1-cos{x}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ cos{ \frac{x}{2}}= \sqrt{\frac{cos{x}+1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ tg{ \frac{x}{2}}= \sqrt{ \frac{1-cos{x}}{1+cos{x}} } = \sqrt{ \frac{(1-cos{x})(1-cos{x})}{(1+cos{x})(1-cos{x})}} =\frac{1-cos{x}} {sin{x}}}\)

Możesz skorzystać ze wzoru na tangens sumy:
\(\displaystyle{ tg{(x+y)}=\frac{tg{x}+tg{y}}{1-tg{x} tg{y}}}\) albo zamieniać na sinusy i cosinusy i liczyć

[Brzezin]

A jak wyprowadzić \(\displaystyle{ \sin \frac{2}{x}}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{2}{x}}\). Próbowałem z jedynki trygonometrycznej, ale za bardzo mi nie wyszło.

Pozdrawiam
Maks

[frej]

Skorzystaj ze wzorów:
\(\displaystyle{ cos{2x}=2cos^2{x}-1=1-2sin^2{x}}\).

[Brzezin]

Niestety nie wychodzi mi

[frej]

Korzystając z tych wzorów mamy:
Podstawiając \(\displaystyle{ x:= \frac{x}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos{(2\cdot \frac{x}{2})}=cos{x}=2cos^2{\frac{x}{2}}-1}\)
\(\displaystyle{ cos{x}+1=2cos^2{\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ cos^2{x}=\frac{cos{x}+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos{x}=\sqrt{\frac{cos{x}+1}{2}}}\)

z sinusem spróbuj teraz sam.