Równanie z cos

[nwnuinr]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \cos (3x- \frac{ \pi}{4} )= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

wynikiem jest \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{ \pi}{3} + \frac{2k \pi}{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{ \pi}{2} + \frac{2k \pi}{3}}\), wiem skąd ten pierwszy wynik, bo tak mi wyszło w obliczeniach, ale nie wiem skąd ten drugi, wydawało mi się, że powinna być liczba przeciwna w funkcji cosinus czyli \(\displaystyle{ x_{2} = - \frac{ \pi}{3} + \frac{2k \pi}{3}}\)

[ Dodano: 21 Sierpnia 2008, 16:05 ]
może po prostu błąd w książce?

[soku11]

Mozna to zrobic na wiele sposobow. W odpowiedzi poprostu nie skorzystali z parzystosci funkcji cosinus, tylko znalezli kolejny pierwiastek w pedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]}\), tj:
\(\displaystyle{ t=3x-\frac{\pi}{4}\\
\cos t =-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
t= \frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \ \ \ t=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \\
3x-\frac{\pi}{4}= \frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \ \ \ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi \\
3x= \pi+2k\pi \ \ \ \ \ \ 3x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \\
x= \frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \ \ \ \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3} \\}\)

Oczywiscie ty mozesz sobie rozwiazac tak:
\(\displaystyle{ \ldots\\
t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\ \ \ \ \ \ t=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\)

Da ci to ten sam wynik Pozdrawiam.

[frej]

W odpowiedzi poprostu nie skorzystali z parzystosci funkcji cosinus

Właśnie skorzystali, bo
\(\displaystyle{ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad \quad 3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi}\)

[soku11]

Jakos nie widze, gdzie tutaj masz parzystosc... Jak dla mnie to wzieli dwie kolejne wartosci, dodali okres i tyle. Pozatym ta twoja rownosc jest watpliwa:
\(\displaystyle{ 3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\ \ \ ??\\
3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi=\frac{5\pi}{4}+2(k-4)\pi\\}\)

Jednak nijak to sie ma do parzystosci. Pozdrawiam.

[frej]

\(\displaystyle{ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \quad \quad 3x-\frac{\pi}{4}=2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}}\)
i teraz tylko uwzględnić okres. I te wątpliwe \(\displaystyle{ k}\) w równaniu można zastąpić jakimś \(\displaystyle{ l}\) czy czymś innym. Oczywiście \(\displaystyle{ k,l \mathbb{Z}}\).

[soku11]

No to jest przeciez oczywiste, jednak nie ma zupelnie nic wspolnego z parzystoscia funkcji i przyjetym tokiem rozumowania w odpowiedziach... Pozdrawiam.

[nwnuinr]

co to jest \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)? nie miało być czasem \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)?

[scyth]

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) - zbiór liczb całkowitych
\(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) - zbiór liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - zbiór liczb rzeczywistych
\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) - zbiór liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) - zbiór liczb wymiernych
to te najważniejsze

[nwnuinr]

pierwsze słyszę, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to liczby całkowite... zawsze używałem \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) i w książce też tak mam.

[scyth]

to teraz już wiesz jak się fachowo je oznacza. C na całkowite to tylko w szkołach.