Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
MathProblem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 maja 2008, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 189 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: MathProblem »

Witam,

Nie wiem czy dobrze zrobiłem: \(\displaystyle{ sin2x + cosx = 0}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx + cosx = 0}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx = - cosx \ \ \slash: cosx}\)
\(\displaystyle{ \qquad 2sinx = -1 \ \ \slash: 2}\)
\(\displaystyle{ \qquad sinx = -\frac{1}{2}}\)

Czyli \(\displaystyle{ x = \frac{2}{6}\pi}\) ??
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: Lider_M »

A dlaczego w pewnym momencie dzielisz przez \(\displaystyle{ \cos x}\), a jakby wynosił on \(\displaystyle{ 0}\)?

No i rozwiązaniem
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{-1}{2}}\) nie jest tylko ta wartość, którą podałeś, przecież funkcja sinus jest okresowa, a ponadto jest jeszcze druga 'seria' rozwiązań.
frej

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: frej »

W równaniach trygonometrycznych unikaj dzielenia przez jakąkolwiek funkcję trygonometryczną, to niesie trochę ryzyka ze sobą. Najlepiej jest przenieść na jedną stroną i wyłączyć przed nawias. Wtedy masz pewność, że o niczym nie zapomniałeś. Zobacz
\(\displaystyle{ 2sin{x}cos{x}+cos{x}=0}\)
\(\displaystyle{ cos{x}(2sin{x}+1)=0}\),
więc \(\displaystyle{ cos{x}=0 \quad \quad 2sin{x}+1=0}\)
\(\displaystyle{ cos{x}=0 \quad \quad sin{x}=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad \quad x=\frac{7}{6} \pi +2k\pi \quad \quad x=\frac{11}{6}\pi +2k\pi \qquad k \mathbb{Z}}\)
MathProblem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 maja 2008, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 189 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: MathProblem »

Nie rozumiem tego zapisu co napisałeś na dole.

Rozumiem wszak, że to jest źle? :

Dla \(\displaystyle{ cosx 0}\) :

\(\displaystyle{ 2sinxcosx = -cosx \ \ \ /: cosx}\)
\(\displaystyle{ 2sinx = -1 \qquad \qquad \qquad 2sinx = 1}\)
\(\displaystyle{ sinx = -\frac{1}{2} \qquad \qquad sinx = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2}{6}\pi x = \frac{\pi}{6}}\)

Dla \(\displaystyle{ cosx = 0}\):
\(\displaystyle{ 2sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ sinx = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)

Ten wynik się różnic od Twojego jak widać, a ja nie rozumiem tych k...
frej

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: frej »

To są wszystkie iksy, dla których spełniona jest ta nierówność.

Nie możesz zrobić czegoś takiego, to jest źle zrobione:
Dla \(\displaystyle{ cosx 0}\) :

\(\displaystyle{ 2sinxcosx = -cosx \ \ \ /: cosx}\)
\(\displaystyle{ 2sinx = -1 \qquad \qquad \qquad 2sinx = 1}\)
\(\displaystyle{ sinx = -\frac{1}{2} \qquad \qquad sinx = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2}{6}\pi x = \frac{\pi}{6}}\)

Dla \(\displaystyle{ cosx = 0}\):


Powinno być tak:
\(\displaystyle{ cos{x}\neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcosx = -cosx \ \ \ /: cosx}\)
\(\displaystyle{ 2sinx = -1}\)
\(\displaystyle{ sinx = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{6} +2k\pi \quad \quad x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi}\)


Dla \(\displaystyle{ cosx = 0 x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\):
\(\displaystyle{ 0=0}\)
MathProblem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 maja 2008, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 189 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: MathProblem »

Ok. Mniej więcej wiem o co chodzi.

Mam kolejny przykład i tutaj to już nie wiem co mogę zrobić:

\(\displaystyle{ sin^{4}x - cos^{4}x = 2sinxcosx}\)

Jedyne co mi wpadło do głowy to \(\displaystyle{ sin2x = 2sinxcosx}\) ewentualnie \(\displaystyle{ sin^{4}x - cos^{4}x = sin2x}\), ale nie wiele potrafię tutaj zrobić....
frej

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: frej »

podpowiedź:
\(\displaystyle{ sin^4{x}-cos^4{x}=(sin^2{x})^2-(cos^2{x})^2=(sin^2{x}-cos^2{x})(sin^2{x}+cos^2{x})=sin^2{x}-cos^2{x}=-cos{2x}}\)
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: Lider_M »

\(\displaystyle{ \sin^4-\cos^4x=\sin 2x}\)
\(\displaystyle{ (\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=\sin 2x}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x-\cos^2x=\sin 2x}\)
\(\displaystyle{ -\cos 2x=\sin 2x}\)
\(\displaystyle{ \cos 2x=-\sin 2x}\)
\(\displaystyle{ \sin ft(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin (-2x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-2x=-2x+2k\pi\ \ \ \ \frac{\pi}{2}-2x=\pi -(-2x)+2k\pi}\)
Czyli ostatecznie \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\)
MathProblem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 maja 2008, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 189 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: MathProblem »

No na to bym nie wpadł, bo teraz dopiero zobaczyłem, że \(\displaystyle{ cosx = sinx(x + \frac{\pi}{2})}\), ale czy z \(\displaystyle{ -sin2x}\) można zrobić \(\displaystyle{ sin(-2x)}\) ?
frej

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: frej »

Tak, można. Można jeszcze trochę inaczej zrobić:
\(\displaystyle{ -cos{2x}=sin{2x} 0=(sin{2x}+cos{2x})^2=cos^2{2x}+sin^2{2x}+2sin{2x}cos{2x}=1+sin{4x}}\)
i teraz łatwo
MathProblem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 maja 2008, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 189 razy

Równanie dwóch funckji trygonometrycznych

Post autor: MathProblem »

Lepiej żeby tego nie było na poprawce.
ODPOWIEDZ