Wykaż, że

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Wykaż, że

Post autor: Brzezin »

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{15}cos \frac{2\pi}{15}cos \frac{3\pi}{15} cos \frac{4\pi}{15} cos \frac{5\pi}{15} cos \frac{6\pi}{15} cos \frac{7\pi}{15} = (\frac{1}{2})^7}\)

Pozdrawiam Maks
Awatar użytkownika
steal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1043
Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 160 razy

Wykaż, że

Post autor: steal »

Rozbiję całość na dwa wyrażenia, które obliczę oddzielnie:
\(\displaystyle{ \\ \cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}=\frac{2\sin\frac{3\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}}{2\sin\frac{3\pi}{15}}=\frac{2sin\frac{6\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}}{2^2\sin\frac{3\pi}{15}}=\frac{sin\frac{12\pi}{15}}{2^2\sin\frac{3\pi}{15}}=\frac{sin\left(\pi-\frac{3\pi}{15}\right)}{2^2\sin\frac{3\pi}{15}}=\\=\frac{1}{2^2}}\)

Na podstawie wzoru redukcyjnego: \(\displaystyle{ \cos\frac{7\pi}{15}=\cos\left(\pi-\frac{8\pi}{15}\right)=-\cos\frac{8\pi}{15}}\)

\(\displaystyle{ \left(\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cos\frac{7\pi}{15}\right)\cdot\cos\frac{5\pi}{15}=-\left(\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cos\frac{8\pi}{15}\right)\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\\=\left(\frac{\sin\frac{16\pi}{15}}{2^4\sin\frac{\pi}{15}}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^5}}\)

Sumarycznie wychodzi nam \(\displaystyle{ \frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{2^5}=\frac{1}{2^7}=P}\)
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Wykaż, że

Post autor: Brzezin »

Śliczne dzięki za odpowiedź. Mam problemy z następującym przykładem:
\(\displaystyle{ \sin2\alpha+\sin2\beta+sin2\gamma=4sin\alpha sin\beta sin\gamma}\)
frej

Wykaż, że

Post autor: frej »

Ale te kąty są kątami w trójkącie, tzn. ich suma wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) ??
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Wykaż, że

Post autor: Brzezin »

Tak w trójkącie. W odpowiedziach zrobili z czegoś takiego jak \(\displaystyle{ \sin2\alpha + 2\sin(\beta+\gamma)\cos(\beta-\gamma)}\) coś takiego \(\displaystyle{ 2sin\alpha\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos(\beta-\gamma)}\) no i zastanawia mnie jak oni do tego doszli, a resztę bym rozkminił
Awatar użytkownika
Xadesik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 9 mar 2008, o 16:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 4 razy

Wykaż, że

Post autor: Xadesik »

Użyto po prostu paru wzorów:
na funkcję podwojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha}\)
Skoro to są kąty w trójkącie, to
\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi \\
\beta + \gamma = \pi - }\)

Ze wzorów redukcyjnych mamy natomiast:
\(\displaystyle{ \sin(\pi - ) = \sin\alpha}\)
natkoza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2278
Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 602 razy

Wykaż, że

Post autor: natkoza »

no to moze ja pokaże od poczatku do końca...
\(\displaystyle{ sin2\alpha+sin2\beta+sin2\gamma=sin2\alpha+2sin\frac{2\beta+2\gamma}{2}cos\frac{2\beta-2\gamma}{2}=2sin\alpha cos\alpha+2sin(\beta+\gamma)cos(\beta-\gamma)=2sin\alpha (cos\alpha+cos(\beta-\gamma))=2sin\alpha (2cos\frac{\alpha+\beta-\gamma}{2}cos\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2})=4sin\alpha cos\frac{180-2\gamma}{2}cos\frac{180-2\beta}{2}=4sin\alpha cos(90-\gamma)cos(90-\beta)=4sin\alpha sin\gamma sin\beta=4sin\alpha sin\beta sin\gamma}\)
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Wykaż, że

Post autor: Brzezin »

Do innego przykładu z funkcją \(\displaystyle{ \tan}\)
jak z przekształcić podane niżej wyrażenie do postaci po znaku równości
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \cot \frac{\alpha + \beta}{2}[\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}] = \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \frac{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}}{\tan (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2})}}\) no i jak z tego równa się \(\displaystyle{ 1}\)
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wykaż, że

Post autor: scyth »

nic tu nie przekształcasz, przecież:
\(\displaystyle{ \cot \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1}{\tan \frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{1}{\tan ft(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}}\)

[ Dodano: 13 Sierpnia 2008, 13:39 ]
Czyli masz pokazać, że:
\(\displaystyle{ \tan ft( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} \right)= \frac{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}}}\)
No więc załóżmy, że znamy wzory na sinus i cosinus sumy. wtedy:
\(\displaystyle{ \tan (A+B)=\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}=\frac{\sin A \cos B + \sin B \cos A}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} =\frac{\frac{\sin A \cos B}{\cos A \cos B} + \frac{\sin B \cos A}{\cos A \cos B}}{\frac{\cos A \cos B}{\cos A \cos B} - \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}} =\\= \frac{\tan A + \tan B}{1- \tan A \tan B}}\)
Stąd wniosek że nie jest to prawda lub że jest błąd w zadaniu.
ODPOWIEDZ