Wykaż, że:
1)
\(\displaystyle{ cos \frac{360^o}{n}+ cos \frac{2*360^o}{n}+cos \frac{3*360^o}{n}+...+cos \frac{(n-1)*360^o}{n}=-1}\)
2)
\(\displaystyle{ cos \frac{360^o}{7}+cos \frac{2*360^o}{7}+cos \frac{3*360^o}{7}=-\frac{1}{2}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
pozdrawiam
Maks
Wykaż, że - suma cosinusów
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wykaż, że - suma cosinusów
1)
Niech
\(\displaystyle{ C=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n\\S=\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{k\cdot360^\circ}n\\
c=\cos\frac{360^\circ}n\\s=\sin\frac{360^\circ}n}\)
Jeśli n>1, to \(\displaystyle{ \frac{360^\circ}n}\) nie jest całkowitą wielokrotnością 360 stopni, a zatem \(\displaystyle{ c\ne1}\).
Mamy
\(\displaystyle{ cC-sS=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\cos\frac{360^\circ}n\cos\frac{k\cdot360^\circ}n-\sin\frac{360^\circ}n\sin\frac{k\cdot360^\circ}n\right)
=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(k+1)\cdot360^\circ}n=\sum_{k=1}^n\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=C}\)
bo \(\displaystyle{ \cos\frac{n\cdot360^\circ}n=1=\cos\frac{0\cdot360^\circ}n}\)
Zatem cC-sS=C. Podobnie dostajemy, że sC+cS=S.
Stąd kolejno:
\(\displaystyle{ (c-1)C-sS=0}\) oraz \(\displaystyle{ sC+(c-1)S=0}\)
\(\displaystyle{ (c-1)^2C-s(c-1)S=0}\) oraz \(\displaystyle{ s^2C+s(c-1)S=0}\)
a po dodaniu stronami
\(\displaystyle{ [(c-1)^2+s^2]C=0\\
(s^2+c^2-2c+1)C=0\\
(2-2c)C=0}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2-2c\ne0}\), więc C=0
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=C-\cos\frac{0\cdot360^\circ}n=C-1=-1}\)
2)
Skorzystam z 1) dla n=7 oraz z tego, że
\(\displaystyle{ \cos\frac{360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{360^\circ}7\right)=\cos\frac{6\cdot360^\circ}7\\
\cos\frac{2\cdot360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{2\cdot360^\circ}7\right)=\cos\frac{5\cdot360^\circ}7\\
\cos\frac{3\cdot360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{3\cdot360^\circ}7\right)=\cos\frac{4\cdot360^\circ}7}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{360^\circ}7+\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+\cos\frac{3\cdot360^\circ}7=\frac12\left(2\cos\frac{360^\circ}7+2\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+2\cos\frac{3\cdot360^\circ}7\right)=\frac12\left(\cos\frac{360^\circ}7+\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+\cos\frac{3\cdot360^\circ}7+\cos\frac{4\cdot360^\circ}7+\cos\frac{5\cdot360^\circ}7+\cos\frac{6\cdot360^\circ}7\right)=\frac12\cdot(-1)=-\frac12}\)
Niech
\(\displaystyle{ C=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n\\S=\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{k\cdot360^\circ}n\\
c=\cos\frac{360^\circ}n\\s=\sin\frac{360^\circ}n}\)
Jeśli n>1, to \(\displaystyle{ \frac{360^\circ}n}\) nie jest całkowitą wielokrotnością 360 stopni, a zatem \(\displaystyle{ c\ne1}\).
Mamy
\(\displaystyle{ cC-sS=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\cos\frac{360^\circ}n\cos\frac{k\cdot360^\circ}n-\sin\frac{360^\circ}n\sin\frac{k\cdot360^\circ}n\right)
=\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{(k+1)\cdot360^\circ}n=\sum_{k=1}^n\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=C}\)
bo \(\displaystyle{ \cos\frac{n\cdot360^\circ}n=1=\cos\frac{0\cdot360^\circ}n}\)
Zatem cC-sS=C. Podobnie dostajemy, że sC+cS=S.
Stąd kolejno:
\(\displaystyle{ (c-1)C-sS=0}\) oraz \(\displaystyle{ sC+(c-1)S=0}\)
\(\displaystyle{ (c-1)^2C-s(c-1)S=0}\) oraz \(\displaystyle{ s^2C+s(c-1)S=0}\)
a po dodaniu stronami
\(\displaystyle{ [(c-1)^2+s^2]C=0\\
(s^2+c^2-2c+1)C=0\\
(2-2c)C=0}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ 2-2c\ne0}\), więc C=0
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\cdot360^\circ}n=C-\cos\frac{0\cdot360^\circ}n=C-1=-1}\)
2)
Skorzystam z 1) dla n=7 oraz z tego, że
\(\displaystyle{ \cos\frac{360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{360^\circ}7\right)=\cos\frac{6\cdot360^\circ}7\\
\cos\frac{2\cdot360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{2\cdot360^\circ}7\right)=\cos\frac{5\cdot360^\circ}7\\
\cos\frac{3\cdot360^\circ}7=\cos\left(360^\circ-\frac{3\cdot360^\circ}7\right)=\cos\frac{4\cdot360^\circ}7}\)
\(\displaystyle{ \cos\frac{360^\circ}7+\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+\cos\frac{3\cdot360^\circ}7=\frac12\left(2\cos\frac{360^\circ}7+2\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+2\cos\frac{3\cdot360^\circ}7\right)=\frac12\left(\cos\frac{360^\circ}7+\cos\frac{2\cdot360^\circ}7+\cos\frac{3\cdot360^\circ}7+\cos\frac{4\cdot360^\circ}7+\cos\frac{5\cdot360^\circ}7+\cos\frac{6\cdot360^\circ}7\right)=\frac12\cdot(-1)=-\frac12}\)