Rznica funkcji trygonometrycznej

[MakCis]

Przedstawić w postaci iloczynu \(\displaystyle{ 1-sin }\)

czy mogę zacząć tak:

\(\displaystyle{ sin 90^{\circ} - sin = ...}\)

[frej]

tak, a potem ze wzoru na różnicę sinusów.

[MakCis]

No własnie tak robię i nie wychodzi:

\(\displaystyle{ sin90^{\circ} - sin = 2 cos (45^{\circ} + \frac{ }{2}) sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2})}\)

[frej]

Dobrze jest, chyba że chciałeś dojść do innej postaci.

[MakCis]

no na przykład do takiej:

\(\displaystyle{ 2 sin^2 (45^{\circ} - \frac{\alpha}{2})}\)

[frej]

Skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ cos{(90^{\circ} -x)}=sin{x}}\), dla \(\displaystyle{ x=45^{\circ} -\frac{\alpha}{2}}\).

[MakCis]

Nie za bardzo rozumiem, dlaczego tak zrobiłeś?

[frej]

Istnieje taki wzór redukcyjny:
\(\displaystyle{ cos{(\frac{\pi}{2} - x)}=sin{x}}\)
Teraz w naszym przypadku w miejsce \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} -\frac{\alpha}{2}}\) i masz:
\(\displaystyle{ cos{(90^{\circ}-(45^{\circ} -\frac{\alpha}{2}))}=cos{(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}=sin{(45^{\circ} - \frac{\alpha}{2})}}\)
Teraz podstaw do twojej postaci iloczynowej i masz:
\(\displaystyle{ 2 cos (45^{\circ} + \frac{ }{2}) sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2})=2 sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2}) sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2})=2sin^2( 45^{\circ} - \frac{ }{2})}\)

[MakCis]

W tym wzorze redukcyjnym chodzi o to, że jeśli mamy (90*-x) to dana funkcja przechodzi na "kofunkcję", to znaczy traci lub dostaje przedrostek "co" ?

[frej]

W tym przypadku dokładnie tak.

[MakCis]

W takim razie, czy poprawne są takie wzory:

\(\displaystyle{ sin (90^{\circ} - x) = cos x \\ sin (90^{\circ} + x) = cos x \\ cos (90^{\circ} - x) = sin x \\ cos (90^{\circ} + x) = sin x \\ tg (90^{\circ} - x) = ctg x \\ tg (90^{\circ} + x) = ctg x \\ ctg (90^{\circ} - x) = tg x \\ ctg(90^{\circ} + x) = tgx}\)

[frej]

Punkt

[MakCis]

Niestety, ale nadal tego nie rozumiem.

Istnieje taki wzór redukcyjny:
\(\displaystyle{ cos{(\frac{\pi}{2} - x)}=sin{x}}\)
Teraz w naszym przypadku w miejsce \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} -\frac{\alpha}{2}}\) i masz:
\(\displaystyle{ cos{(90^{\circ}-(45^{\circ} -\frac{\alpha}{2}))}=cos{(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}=sin{(45^{\circ} - \frac{\alpha}{2})}}\)
Teraz podstaw do twojej postaci iloczynowej i masz:
\(\displaystyle{ 2 cos (45^{\circ} + \frac{ }{2}) sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2})=2 sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2}) sin( 45^{\circ} - \frac{ }{2})=2sin^2( 45^{\circ} - \frac{ }{2})}\)

Konkretnie nie rozumiem tego momentu:

Teraz w naszym przypadku w miejsce \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} -\frac{\alpha}{2}}\)

dlaczego tam za x wstawiamy akurat \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} -\frac{\alpha}{2}}\) ?

[steal]

Dlatego, że:
\(\displaystyle{ \cos(45^o+\frac{\alpha}{2})=\cos(45^o+(45^o-45^o)+\frac{\alpha}{2})=\cos(90^o-45^o+\frac{\alpha}{2})=\\=\cos(90^o-(45^o-\frac{\alpha}{2}))=sin(45^o-\frac{\alpha}{2})}\)
Tak łopatologicznie...