Witam wszystkich użytkowników, oto mój problem:
Rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ 3\ctg x- \sqrt{3}\tan x \geqslant 3 - \sqrt{3}}\)
Nierówność trygonometryczna
-
frej
Nierówność trygonometryczna
\(\displaystyle{ \ctg{x}=\frac{1}{\tg{x}}}\)
\(\displaystyle{ t=\tg{x}}\)
\(\displaystyle{ D: t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{t}-\sqrt{3} t \geqslant 3-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{3} t^2}{t} \geqslant 3-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ t(3-\sqrt{3} t^2) \geqslant t^2(3-\sqrt{3})}\)
Tutaj już sobie poradzisz
\(\displaystyle{ t=\tg{x}}\)
\(\displaystyle{ D: t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{t}-\sqrt{3} t \geqslant 3-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{3} t^2}{t} \geqslant 3-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ t(3-\sqrt{3} t^2) \geqslant t^2(3-\sqrt{3})}\)
Tutaj już sobie poradzisz
-
MojStary
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 22 lip 2008, o 03:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: asfsagas
Nierówność trygonometryczna
Mogę prosić o pełne rozwiązanie, niestety jestem jeszcze laikiem...
Z góry dziękuję.
Pozdrawiam
Z góry dziękuję.
Pozdrawiam
-
frej
Nierówność trygonometryczna
\(\displaystyle{ 0 \geqslant t^2(3-\sqrt{3})-3t+\sqrt{3} t^3=t(\sqrt{3} t^2 + (3-\sqrt{3})t -3)}\)
Teraz nawias rozbijamy na iloczyn
\(\displaystyle{ \sqrt{3} t^2 + (3-\sqrt{3})t -3=\sqrt{3} (t^2 +( \sqrt{3}-1)t -\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-2\sqrt{3} +4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3} +1)^2}\)
\(\displaystyle{ t(\sqrt{3} t^2 + (3-\sqrt{3})t -3)=\sqrt{3} t (t-\frac{-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1}{2})(t-\frac{-\sqrt{3}+1-\sqrt{3} -1 }{2})=\sqrt{3} t (t-1)(t+\sqrt{3})}\)
Teraz na wykresie funkcji ładnie widać, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność. Zaraz wrzucę rysunek.
[ Dodano: 23 Lipca 2008, 11:12 ]
Jak widać nierówność ta jest spełniona dla \(\displaystyle{ t \in (-\infty,-\sqrt{3}> \cup (0,1 >}\). Pamiętając, że jest to \(\displaystyle{ t=tg{x}}\), zatem ta nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \in (-\frac{\pi}{2} +k\pi , -\frac{\pi}{3} +k\pi > \cup (0 +k\pi , \frac{\pi}{4} + k\pi > \quad k\in \mathbb{Z}}\).
Teraz nawias rozbijamy na iloczyn
\(\displaystyle{ \sqrt{3} t^2 + (3-\sqrt{3})t -3=\sqrt{3} (t^2 +( \sqrt{3}-1)t -\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-2\sqrt{3} +4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3} +1)^2}\)
\(\displaystyle{ t(\sqrt{3} t^2 + (3-\sqrt{3})t -3)=\sqrt{3} t (t-\frac{-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1}{2})(t-\frac{-\sqrt{3}+1-\sqrt{3} -1 }{2})=\sqrt{3} t (t-1)(t+\sqrt{3})}\)
Teraz na wykresie funkcji ładnie widać, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność. Zaraz wrzucę rysunek.
[ Dodano: 23 Lipca 2008, 11:12 ]
Jak widać nierówność ta jest spełniona dla \(\displaystyle{ t \in (-\infty,-\sqrt{3}> \cup (0,1 >}\). Pamiętając, że jest to \(\displaystyle{ t=tg{x}}\), zatem ta nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \in (-\frac{\pi}{2} +k\pi , -\frac{\pi}{3} +k\pi > \cup (0 +k\pi , \frac{\pi}{4} + k\pi > \quad k\in \mathbb{Z}}\).