Zbiór punktów płaszczyzny

[patry93]

Witam.

Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie \(\displaystyle{ sin x + sin y = sin(x+y)}\)

[frej]

może taka podpowiedź:
\(\displaystyle{ sin{x}+sin{y}=2\sin{(\frac{x+y}{2})} \cos{(\frac{x-y}{2})}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin{(\frac{x+y}{2})} \cos{(\frac{x-y}{2})}=\sin{(2\frac{(x+y)}{2})}}\)

[patry93]

frej - dziękuję za odpowiedź.
\(\displaystyle{ sin(2 \frac{(x+y)}{2} )}\) - jak z tego zapisu przejść do postaci iloczynowej z wykorzystaniem wszystkich wyrażeń, tak, żeby po prawej stronie było zero?
Czy można to zrobić jakimś innym sposobem, bez sprowadzania do postaci iloczynowej?

[frej]

Ok, ja to zrobiłem tak:
będę korzystał z wzorów:
\(\displaystyle{ sin{x}+sin{y}=2sin{(\frac{x+y}{2})}\cos{(\frac{x-y}{2})}}\)
\(\displaystyle{ sin{2x}=2sin{x} cos{x}}\)
\(\displaystyle{ cos{x}-cos{y}=2 sin{(\frac{x+y}{2})} \sin {(\frac{y-x}{2})}}\)

\(\displaystyle{ 2\sin{(\frac{x+y}{2})} \cos{(\frac{x-y}{2})}=\sin{(2\frac{(x+y)}{2})}=2\sin{(\frac{x+y}{2})} \cos{(\frac{x+y}{2})}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin{(\frac{x+y}{2})} (\cos{(\frac{x-y}{2})} - \cos{(\frac{x+y}{2})})=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin{(\frac{x+y}{2})} 2 \sin{{x \over 2}} \sin{{y \over 2}}=0}\)
\(\displaystyle{ 4sin{{x \over 2}} sin{{y \over 2}} \sin{(\frac{x+y}{2})}=0}\)

\(\displaystyle{ sin{\frac{x}{2}}=0 \quad \quad sin{\frac{y}{2}}=0 \quad \quad \sin{(\frac{x+y}{2})}= 0}\)
To już chyba umiesz.

[patry93]

Wielkie dzięki