Znajdx ilość rozwiązań równania trygonometrycznego

[Gość]

znalezc ilosc rozwiazan rownania trygonometrycznego;
x e (0, 90)

sin 45 * sin (x/2) = sin(x) * sin ( 45 - x/2)

[Yavien]

Rozwiazanie silowe, gdy nie ma innych pomyslow, zawsze rozwiazuj tego typu zadania w ten sposob):
dla prawej strony rownania zastosuj wzor na sin[(90 - x)/2] czyli najpierw wzor na sin (x/2), a potem na funkcje kata 90-x, dla lewej strony zastosuj wzor na sin x/2
Bedziesz miec rownanie, gdzie beda wystepowac tylko liczby (sin45 to tez liczba) oraz funkcje kata x. Cos sie powinno udac rozwiazac.

[Skrzypu]

Rób tak:

sin45*sin(x/2)=sinx*sin(45-x/2)

sqrt(2)/2*sin(x/2)=sinx*(sin45*cos(x/2)-sin(x/2)*cos45)

sqrt(2)*sin(x/2)/2=sinx*(sqrt(2)/2*cos(x/2)-sin(x/2)*sqrt(2)/2) |*2/sqrt(2)

sin(x/2)=sinx*(cos(x/2)-sin(x/2))

sqrt(1-cosx)=sinx*(sqrt(1+cosx)-sqrt(1-cosx)) |^2

1-cosx=sin^2 x * (1+cosx - 2sqrt(1+cos^2 x) + 1-cosx)

1 - cosx = (1 - cos^2) * (2 - 2sqrt(1-cos^2 x))

1/(1 + cosx) = 2 - 2sqrt(1-cos^2 x)

2sqrt(1-cos^2 x) = 2 - 1/(1+cosx) |^2

4(1-cos^2 x) = 4 - 4/(1+cosx) +1/(1+cosx)^2 |*(1+cosx)^2

4(1-cos^2 x)(1+cosx)^2 = 4(1+cosx)^2 - 4(1+cosx) + 1

4(1-cos^2 x)(1 + 2cosx + cos^2 x) = 4 + 8cosx + 4cos^2 x - 4 -4cosx + 1

4(1-cos^2 x)(1 + 2cosx + cos^2 x) = 4cos^2 x + 4 cosx + 1

4(1 + 2cosx + cos^2 x - cos^2 x - 2cos^3 x - cos^4 x) = (2cosx + 1)^2

4(1 + 2cosx -2cos^3 x - cos^4 x) = (2cosx + 1)^2

4 + 8 cosx - 8cos^3 x - 4cos^4 x = 4cos^2 x +4cosx + 1

4cos^4 x + 8cos^3 x + 4cos^2 x - 8cosx -4 + 1 = 0

[Yavien]

dla x = 45 jest to rownanie prawdziwe

[Skrzypu]

dla x = 45 jest to rownanie prawdziwe

a więc

znalezc ilosc rozwiazan rownania trygonometrycznego;
x e (0, 90)
sin 45 * sin (x/2) = sin(x) * sin ( 45 - x/2)

sin 45 * sin (22,5) = sin 45 * sin 0

sin 22,5 = sin 0

No chyba nie za bardzo [/quote]

[Yavien]

znalezc ilosc rozwiazan rownania trygonometrycznego;
x e (0, 90)
sin 45 * sin (x/2) = sin(x) * sin ( 45 - x/2)

sin 45 * sin (22,5) = sin 45 * sin 0 ...

lewa strona ok, a prawa
= sin(x) * sin ( 45 - x/2) = sin 45 * sin (45 - 22,5) = sin 45 * sin (22,5) Chyba bardzo?
A jezeli przedzial 0,90 jest domkniety, to jeszcze x = 0 tez jest ok.

[Gość]

czyli tylko x=45 ?

[Yavien]

tak mi wyszlo, jak sobie narysowalam wykresiki w excelu, nie chcialo mi sie rozwiazywac rownania. Probowales, gosciu uzyc wzorow, zgodnie z sugestiami?

[Skrzypu]

sin(x) * sin ( 45 - x/2) = sin 45 * sin (45 - 22,5) = sin 45 * sin (22,5)

No faktycznie, sorki, zwracam honor, poszukaj błędu w moim rozwiązywaniu

[Yavien]

Rób tak:

sin45*sin(x/2)=sinx*sin(45-x/2)

sqrt(2)/2*sin(x/2)=sinx*(sin45*cos(x/2)-sin(x/2)*cos45)

sqrt(2)*sin(x/2)/2=sinx*(sqrt(2)/2*cos(x/2)-sin(x/2)*sqrt(2)/2) |*2

Tutaj od razu przez sqrt(2)/2 mozna mnozyc, wtedy bedzie

sin(x/2) = sin(x)*(cos(x/2) - sin(x/2))
ja bym teraz wolala zamienic sin x na 2*sin(x/2)*cos(x/2), bo nie lubie pierwiastkow :
sin (x/2) = 2*sin(x/2)*cos(x/2)(cos(x/2) - sin(x/2))
...

[Arek]

Yavien - rysowanie wykresów w excelu to mordęga... Polecam darmowy program Szymona Acedańskiego dostępny pod adresem:

... /skalk.zip

Naprawdę wsród polskich freewarów, to jest rewelacja...

[metamatyk]

Po co sie tak męczyć z tym równaniem?
Nie lepiej lewą stronę zapisać:
cos(45+x/2)-cos(45-x/2)
a prawą tak:
cos(45+x/2)-cos(3x/2-45)
wtedy wychodzi (jak widać )
cos(45-x/2)=cos(3x/2-45)
a potem juz banalne obliczenia........