Równanie z tangensem i cechą

[anorian]

Dobra, a jak rozwiązać takie równanie?(bo mi wychodzi zbiór pusty )
\(\displaystyle{ \tg [x] \cdot \tg \left\{ {x}\right\} =1}\)
Gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) - część całkowita, a \(\displaystyle{ \left\{ {x}\right\}}\)-mantysa.

[Rogal]

Nie dopisuj się innym do tematów, tylko załóż swój.
\(\displaystyle{ \tan [x] \tan \{ x \} = 1 \\ \tan [x] \tan (x - [x]) = 1 \\ \tan [x] \frac{\tan x - \tan [x]}{1+ \tan x \tan [x]} = 1 \\ \tan x \tan [x] - \tan^{2} [x] = 1 + \tan x \tan [x] \\ \tan^{2} [x] = -1}\)
Więc faktycznie rozwiązaniem będzie zbiór pusty.

[Qń]

Zauważmy najpierw, że lewa strona równania jest dobrze określona dla dowolnych iksów rzeczywistych. Równanie jest więc kolejno równoważnę:
\(\displaystyle{ \sin [x] \sin \{ x \} = \cos [x] \cos \{ x \} \\
\cos [x] \cos \{ x \} - \sin [x] \sin \{ x \} = 0 \\
\cos ([x]+ \{ x \} ) = 0 \\
\cos x = 0 \\
x = \frac{\pi}{2}+ k\pi}\)

Widać przy tym od razu gdzie w sposobie Rogala gubią się te rozwiązania - dla takich iksów \(\displaystyle{ \tan x}\) jest nieokreślony, a pojawia się on w podanych wzorach na tangens różnicy.

Q.

[Rogal]

Aha, rozumiem. Dokonałem przejścia nierównoważnego.
Mea culpa.