zbior wartosci funkci

[maniek123]

wyznacz zbiór wartości funkcji
h(x)=sinx+cosx

[Tristan]

Funkcję tę można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ h(x)=sqrt2 cos(x-\frac{\pi}{4})}\) z czego wynika, że zbiór wartości to przedział \(\displaystyle{ }\).

A...jeszcze może paść pytanie: a skąd to się wzięło?:)

Korzystając z wzorów redukcyjnych można napisać:
\(\displaystyle{ cosx+sinx=cosx+cos(\frac{\pi}{2}-x)}\)
Teraz skorzystamy z wzoru na sumę cosinusów, czyli:
\(\displaystyle{ cosx+cos (\frac{\pi}{2}-x) =2cos(\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}) cos (\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2})=2 cos (\frac{\pi}{4}) cos (x-\frac{\pi}{4})=2\cdot \frac{sqrt2}{2} cos (x-\frac{\pi}{4})=sqrt2 cos(x-\frac{\pi}{4})}\)
Teraz już na pewno wszystko jest jasne:)

[Tomasz Rużycki]

Bądź:

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos \frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki