Wartość funkcji sin(x)/x w zerze

[SasQ]

Siema.

Z tego co mi wiadomo, funkcja \(\displaystyle{ y(x) = \frac{a}{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to dowolna niezerowa liczba rzeczywista, jest nieokreślona dla \(\displaystyle{ x=0}\), bo zbliżając się iksem do 0 z dowolnej strony powodujemy, że wartość funkcji rośnie do nieskończoności lub maleje do minus nieskończoności.

Jednak gdy w miejsce \(\displaystyle{ a}\) wstawimy funkcję \(\displaystyle{ \sin x}\), to dzieje się coś dla mnie dziwnego: wykres tej funkcji przestaje uciekać do nieskończoności, lecz osiąga pewne maksimum dla \(\displaystyle{ x=0}\). W dodatku wykres ten przypomina cosinusoidę, której amplituda wzrasta zbliżając się do 0, a oddalając się od niego maleje. Jest to więc cosinusoida, dla której obwiednią jest funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\).

Spróbowałem podstawić 0 i zobaczyć, dlaczego tak się dzieje. Funkcja \(\displaystyle{ \sin}\) ma w zerze wartość 0. Tą wartość dzielimy następnie przez \(\displaystyle{ x}\), który oczywiście wynosi 0, więc dostajemy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). Jeśli nic podzielimy na zerową ilość części [czyli nie podzielimy], nadal mamy nic W zasadzie dla dowolnego mianownika wystarczy mieć zerowy licznik i powinniśmy otrzymać 0.

Stąd moje pytanie: jakim cudem w takim razie funkcja \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) ma w zerze wartość 1? I dlaczego wykres przypomina cosinusoidę, skoro używam funkcji sinus? o_O

[luka52]

Funkcja dana wzorem sinx/x nie ma w zerze żadnej wartości, gdyż jest tam nieokreślona. To ,,dziwne' zachowanie się tej funkcji wynika z tego, że granice lewo- i prawostronne w zerze wynoszą 1.

[SasQ]

Hmm... myślałem nad tym wszystkim jeszcze trochę i tak mi się nasuwa: dzielenie to inaczej proporcja, porównanie dwóch wielkości. Np. jeśli licznik jest dwa razy większy od mianownika, wynikiem dzielenia jest 2. Gdy licznik i mianownik są sobie równe, wynikiem dzielenia jest 1. Skoro tak, to czy logicznym jest uznać, że wynikiem \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) jest również 1? W końcu przystawiamy do siebie dwie jednakowe wielkości, więc ich proporcją jest 1.

No i pozoztaje jeszcze kwestia tego, w jaki sposób z sinusoidy robi się wykres mający kształt cosinusoidy ;J

[Emiel Regis]

Strasznie kombinujesz. Przede wszystkim to może napisz dziedzinę funkcji która Cię interesuje, potem dopiero zastanawiaj sie jaka jest wartość w zerze.

Natomiast co do granicy to narysuj sobie wykres f(x)=x oraz g(x)=sinx a następnie przyjrzyj się jak obie funkcje się zachowują w okolicy zera.

[SasQ]

Strasznie kombinujesz. Przede wszystkim to może napisz dziedzinę funkcji która Cię interesuje

Tak, wiem jak to się robi standardowo. Ale standardowe odpowiedzi nie odpowiadają na moje pytania.
Dziedziną \(\displaystyle{ y = x}\) jest cały przedział liczb rzeczywistych. Dziedziną \(\displaystyle{ \sin x}\) jest cały przedział liczb rzeczywistych. Dziedziną \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\) jest cały przedział liczb rzeczywistych oprócz zera.

potem dopiero zastanawiaj sie jaka jest wartość w zerze.

W zerze mam, jak już mówiłem, \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i zastanawiam się tylko, ile to jest i dlaczego jej wykres przechodzi w tym miejscu przez 1.

Natomiast co do granicy to narysuj sobie wykres f(x)=x oraz g(x)=sinx a następnie przyjrzyj się jak obie funkcje się zachowują w okolicy zera.

Obie mają tam wartość 0. Co to wnosi nowego poza to, co już napisałem w pierwszym poście?

[Emiel Regis]

Oczywiście że istnieją standardowe odpowiedzi.

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{sinx}{x} \\ \\ D_f=\mathbb{R}\backslash \{0\}}\)

Czyli funkcja f nie ma wartości w zerze bo zero nie należy do dziedziny.

Co do granicy...
Wykres Ci kazałem narysować nie żebyś z niego odczytał wartości licznika i mianownika w zerze bo to jest trywialne, natomiast abys mógł "na oko" ocenić szybkość zbieżności obu funkcji w zerze, bo rozumiem że interesuje Cie intuicyjne wyjaśnienie. I z wykresu widać ze sin(x) oraz x zbiegają do zera bardzo podobnie, a jeśli dwie rzeczy są sobie równe to ich iloraz będzie równy 1.

Najlepiej formalnie sobie policz w/w granicę (i nie interpretuj granicy jako wartosci funkcji).


Jako ciekawostkę poczytaj o funkcji sinc.

[JankoS]

jej wykres przechodzi w tym miejscu przez 1.

A przechodzi?