Oblicz na podstawie sumy sinusa i cosinusa.

[avon]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ sinx + cosx = \frac{1}{\sqrt{2}}}\) , oblicz:
a) sinx * cosx
b) |sinx - cosx|

[fanch]

a)
\(\displaystyle{ (sinx+cosx)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x}\)
więc:
\(\displaystyle{ sinxcosx=\frac{(sinx+cosx)^2-(sin^2x+cos^2x)}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\)

b)
\(\displaystyle{ |sinx-cosx|=\sqrt{(sinx-cosx)^2}=\sqrt{sin^2x-2sinxcosx+cos^2x}=}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{1-2sinxcosx}}\)

[avon]

nic z tego nie zrozumiałam :/

[fanch]

no dobra, to lecimy łopatologicznie:

masz dane: \(\displaystyle{ sinx+cosx=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

przykład a): masz znaleźć sinx*cosx

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

czyli :
\(\displaystyle{ (sinx+cosx)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x}\)
podstawiając \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) za sinx+cosx masz:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sqrt{2}})^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x}\)

istnieje takie cos jak jedynka trygonometryczna, czyli \(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\)

czyli:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sqrt{2}})^2=2sinxcosx+1}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=\frac{1}{2}-1}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinxcosx=-\frac{1}{4}}\)

przykład b) chyba załapiesz.
korzystam tam ze wzoru: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\)

[matshadow]

b)
|sinx-cosx|=sqrt{(sinx-cosx)^2}=sqrt{sin^2x-2sinxcosx+cos^2x}=
=sqrt{1-2sinxcosx}

Można to skrócić do
\(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin 2x}}\)

[fanch]

matshadow, po co mamy to policzyć w liczbach, a nie skrócić do jak najkrótszej postaci