Wykaż, że..

[avon]

Wykaż, że jeżeli liczby x i a są dodatnie, \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \left( 0, 90 \right) i \ \sin \alpha = \sqrt{\frac{x}{x+a} } oraz \ \tg \beta= \sqrt{ \frac{x}{a} }, to \ \alpha = \beta}\)

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ \sin\alpha = \sqrt{\frac{x}{x+a}}}\), to z jedynki trygonometrycznej dostajemy: \(\displaystyle{ \cos\alpha = \sqrt{\frac{a}{x+a}}}\). Stąd \(\displaystyle{ \tan =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\sqrt{ \frac{x}{a}}}\). Czyli \(\displaystyle{ \tan = \tan \beta}\) i z różnowartościowości tangensa w danym przedziale dostajemy tezę.

Q.

[avon]

Nie wiem, czy dobrze zrobiłam, ale czy mogę na początku założyć, że te kąty są równe, potem wyliczyć cosinus, podstawic do jedynki trygonometrycznej i sprawdzić?

[Qń]

czy mogę na początku założyć, że te kąty są równe

W żadnym wypadku - nigdy nie można zacząć udowadniania tezy od założenia, ze jest prawdziwa.

Q.