Dane jest równanie (cosx - 1)(cosx +p +1) = 0 z parametrem p.
Wyznacz wszystkie wartości parametru p dla których dane równanie ma w przedziale dokładnie jedno rozwiązanie.
W sumie mam jakiś pomysł ale nie wiem czy dobry. Wymnażam nawiasy, mam równanie kwadratowe. Czy pod cosx mogę sobie podstawić np zmienną "t" i rozwiązać to jako zwykłe równanie kwadratowe i obliczyć tak aby delta była = 0 ??
równanie z parametrem
-
Wicio
- Użytkownik
- Posty: 1318
- Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 561 razy
równanie z parametrem
Tak dobrze myślisz
\(\displaystyle{ (t-1)(t+p+1)=0}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +tp-p-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=p ^{2} +4p+4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 0=p ^{2} +4p+4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ p=- \frac{4}{2} =-2}\)
\(\displaystyle{ (t-1)(t+p+1)=0}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +tp-p-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=p ^{2} +4p+4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ 0=p ^{2} +4p+4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ p=- \frac{4}{2} =-2}\)
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
równanie z parametrem
Jak dla mnie, to nie wiem po co wogole tutaj cos liczyc. Masz przeciez dwa nawiasy. Rozwiazaniem tego rownania bedzie wiec:
\(\displaystyle{ \cos x=1\ \ \ \ \ \ \cos x=-p-1}\)
Teraz mamy nalozony przedzial \(\displaystyle{ [-\pi;\pi]}\), czyli odrazu mamy jedno rozwiazanie, dla x=0. Wtedy pierwsze rownanie z tego powyzej jest spelnione.
Drugie rownanie moze wiec miec albo jedno rozwiazanie takie samo jak to pierwsze (x=0), lub moze ich nie miec wogole. Aby bylo jedno podwojne, podstawiamy w drugim x=0, i mamy p=-2. Nastepnie trzeba zobaczyc kiedy to rownanie po prawej nie bedzie mialo wogole rozwiazan. Ano wtedy, kiedy:
\(\displaystyle{ -p-11}\). A to jest spelnione dla:
\(\displaystyle{ p>0\ \ \ \ p}\)
\(\displaystyle{ \cos x=1\ \ \ \ \ \ \cos x=-p-1}\)
Teraz mamy nalozony przedzial \(\displaystyle{ [-\pi;\pi]}\), czyli odrazu mamy jedno rozwiazanie, dla x=0. Wtedy pierwsze rownanie z tego powyzej jest spelnione.
Drugie rownanie moze wiec miec albo jedno rozwiazanie takie samo jak to pierwsze (x=0), lub moze ich nie miec wogole. Aby bylo jedno podwojne, podstawiamy w drugim x=0, i mamy p=-2. Nastepnie trzeba zobaczyc kiedy to rownanie po prawej nie bedzie mialo wogole rozwiazan. Ano wtedy, kiedy:
\(\displaystyle{ -p-11}\). A to jest spelnione dla:
\(\displaystyle{ p>0\ \ \ \ p}\)