Równania trygonometryczne.

[aga_1_5]

Dla jakich wartości a podane równania mają rozwiązania:
a) cos x + cos (x - \(\displaystyle{ \frac{2pi}{3}) = a^{2}}\)- 1
b) sin 5x + cos 5x = a


Z góry dziękuję za pomoc...

[klaustrofob]

1. \(\displaystyle{ \cos x+\cos (x-\frac{2\pi}{3})=2\cos\frac{x+(x-\frac{2\pi}{3})}{2}\cos\frac{x-(x-\frac{2\pi}{3})}{2}=}\)
\(\displaystyle{ 2\cos(x-\frac{\pi}{3})\cos\frac{\pi}{3}=\cos(x-\frac{\pi}{3})}\). ponieważ kosinus przyjmuje jako wartość dowolną liczbę z przedziału od -1 do 1, równanie ma rozwiązanie wtw. a spełnia nierówności \(\displaystyle{ -1\leq a^2-1\leq 1 \iff 0\leq a^2 q 2 \iff a\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\)

2. \(\displaystyle{ \sin 5x + \cos 5x=\sin 5x+\sin (\frac{\pi}{2}-5x)=2\sin\frac{5x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\cos\frac{5x-(\frac{\pi}{2}-5x)}{2}=2\sin\frac{\pi}{4}\cos(5x-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cos(5x-\frac{\pi}{4})}\) . argumentując jak poprzednio widzimy, że \(\displaystyle{ a\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\)

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ 2\cos ft( \frac{x+x-\frac{2\pi}{3}}{2} \right)\cos ft( \frac{x-x+\frac{2\pi}{3}}{2} \right) =a^2-1\\
2\cos ft(x- \frac{\pi}{3}\right)\cos \frac{\pi}{3}=a^2-1\\
\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=a^2-1\\
\forall{x\in\mathbb{R}}\ \ \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\in[-1;1]\\
a^2-1\in[-1;1]\\
\begin{cases}
a^2-1\geqslant -1\\
a^2-1\leqslant 1\end{cases}\\
\begin{cases}a^2\geqslant 0\\
a^2-2\leqslant 0\end{cases}\\
\begin{cases}a\geqslant 0\\
(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})\leqslant 0\end{cases}\\
\begin{cases}a\geqslant 0\\
a\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\leqslant 0\end{cases}\\
a\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\\}\)

Drugie analogicznie pamietajac, ze:
\(\displaystyle{ \sin (5x)=\cos\left( \frac{\pi}{2}-5x\right)}\)

POZDRO