Rozwiąż równania

[kur4s]

\(\displaystyle{ 2sin^{3}-sinxcosx-3sin=0}\)
\(\displaystyle{ sin2x+sin3x=0}\)
\(\displaystyle{ tg3x=ctg2x}\)
\(\displaystyle{ \frac{tg4x}{tgx}=1}\)
\(\displaystyle{ cos2x-cos6x=sin3x+sin5x}\)
\(\displaystyle{ sin^{3}+cos^{3}=cosx}\)
\(\displaystyle{ tgx+tg2x=tg3x}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{cosx} +sinx- \sqrt{2} =1}\)
\(\displaystyle{ 3cosx+4sinx=5}\)
\(\displaystyle{ sinx+cosx+2sinxcosx=1}\)
\(\displaystyle{ sin(x-a)=sinx-sina a R}\)
dla jakich wart. parametru a istnieje rozwiazanie row. \(\displaystyle{ sin ^{4} +cos ^{4} =a}\)
help to mam na jutro;[


Zwykły tekst pisz poza klamrami tex.
Piotrek89

[RyHoO16]

1)
\(\displaystyle{ 2sin^{3}-sinxcosx-3sin=0 \iff \sin x(2 \sin^2 x- \cos x -3)=0 \iff -\sin x(2\cos^2 x+ \cos x+1)=0 \iff \sin x=0 \iff x=2 k \pi}\)

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ 3cosx+4sinx=5}\)

podstawienie \(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2} =t}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \sin x =\frac{2t}{1+t^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\)

dalej wystarczy policzyć

[RyHoO16]

Pokuszę się o rozwiązanie 4 przykładu.

\(\displaystyle{ \frac{\tan 4x}{\tan x}=1}\)

Na początek dziedzina, czyli \(\displaystyle{ \tan x 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \tan 2x}{1-\tan^2 x}= \tan x \iff \frac{2 ft( \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \right) }{1-\tan^2 x}= \tan x}\)

Teraz po paru ładnych przekształceniach doszedłem do równania \(\displaystyle{ \tan^4 x-2\tan^2 x-3=0 \iff \tan x= \sqrt{3} \ \ \ \ \ \ \tan x=- \sqrt{3}}\)

Całe zadanie opiera sie na korzystanie ze wzoru \(\displaystyle{ \tan 2x= \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}}\)

[JankoS]

dla jakich wart. parametru a istnieje rozwiazanie row. \(\displaystyle{ sin ^{4} +cos ^{4} =a}\)
help to mam na jutro;[


Zwykły tekst pisz poza klamrami tex.
Piotrek89

\(\displaystyle{ sin ^{4} +cos ^{4}=sin ^{4} +2sin ^{2}xcos ^{2 }x+ cos ^{4}x-2sin ^{2}xcos ^{2 }x=(sin ^{2}x+cos ^{2}x) ^{2}- 2sin ^{2} xcos ^{2} x =1- 2sin ^{2} xcos ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ 1- 2sin ^{2} xcos ^{2} x =a 2sin ^{2} xcos ^{2} x =1-a 4sin ^{2} xcos ^{2} x =2-2a \ (*) \ (sin2x) ^{2}=2-2a=2(1-a).}\)
Równanie (*) ma rozwiązanie wtedy, gdy \(\displaystyle{ 0 qslant (2(1-a) qslant 1 0 qslant 1-a qslant \frac{1}{2} \frac{1}{2} qslant a qslant 1.}\)