twierdzenie dot. izometrii

lazaaaa · Post autor: **lazaaaa** » 19 maja 2008, o 18:33

treść:
jeżeli przekształcenie F będące izometrią ma 3 różne niewspółliniowe punkty niezmiennicze to F jest przekształceniem tożsamościowym

chodzi o dowód

niemam pojęcia jak to zrobić nawet dlatego zwracam sie z prośbą o zrobienie tzw "gotowca"
z góry serdecznie dziękuje

schmude · Post autor: **schmude** » 19 maja 2008, o 22:35

Poszukaj informacji o punktach stałych izometrii

lazaaaa · Post autor: **lazaaaa** » 20 maja 2008, o 18:33

no i nic mi to nie dało
nadal nie wiem jak to zrobic

JankoS · Post autor: **JankoS** » 20 maja 2008, o 21:57

lazaaaa pisze: jeżeli przekształcenie F będące izometrią ma 3 różne niewspółliniowe punkty niezmiennicze to F jest przekształceniem tożsamościowym

Założenia: T- izometria; A, B, C - niewspół;iniowe punkty płaszczyzny; T(A)=A, T(B)=B, T(C)=C.
Teza: T(X) =X dla każdego punktu X płaszczyzny.
Z założenia każdy punkt prostej AB jest punktem stałym T, każdy punkt pr.AC jest takim punktem, tak samo każdy pkt. pr. BC. jest punktem stałym T.
Obieram dowolny X należący do płaszczyzny. Możliwe są dwa przypadki
\(\displaystyle{ (*) \ x pr.AB \cup pr. BC \cup pr. AC=Z \ lub \ (**) \ X Z.}\)
W przypadku (*) \(\displaystyle{ T(X)=X.}\)
Przypadku (**)
Z założenia żadna z par prostych wyznaczonych przez punkyu A, B, C nie jest równoległa
Przez X prowadzę prostą k przecinającą pr. AB w punkcie D położonym pomiędzy A i B. Proste AC i BC nie są równoległe, więc k musi przeciąć , co najmniej jedną z nich w punkcie E.
Punkty D, E są punktami stałymi T, a więc i wszystkie punkty należące do k są punktami stałymi. Stąd T(X)=X.
Z (*) i (**) zachodzi teza.
c. b. d. o.