treść:
jeżeli przekształcenie F będące izometrią ma 3 różne niewspółliniowe punkty niezmiennicze to F jest przekształceniem tożsamościowym
chodzi o dowód
niemam pojęcia jak to zrobić nawet dlatego zwracam sie z prośbą o zrobienie tzw "gotowca"
z góry serdecznie dziękuje
twierdzenie dot. izometrii
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
twierdzenie dot. izometrii
Założenia: T- izometria; A, B, C - niewspół;iniowe punkty płaszczyzny; T(A)=A, T(B)=B, T(C)=C.lazaaaa pisze: jeżeli przekształcenie F będące izometrią ma 3 różne niewspółliniowe punkty niezmiennicze to F jest przekształceniem tożsamościowym
Teza: T(X) =X dla każdego punktu X płaszczyzny.
Z założenia każdy punkt prostej AB jest punktem stałym T, każdy punkt pr.AC jest takim punktem, tak samo każdy pkt. pr. BC. jest punktem stałym T.
Obieram dowolny X należący do płaszczyzny. Możliwe są dwa przypadki
\(\displaystyle{ (*) \ x pr.AB \cup pr. BC \cup pr. AC=Z \ lub \ (**) \ X Z.}\)
W przypadku (*) \(\displaystyle{ T(X)=X.}\)
Przypadku (**)
Z założenia żadna z par prostych wyznaczonych przez punkyu A, B, C nie jest równoległa
Przez X prowadzę prostą k przecinającą pr. AB w punkcie D położonym pomiędzy A i B. Proste AC i BC nie są równoległe, więc k musi przeciąć , co najmniej jedną z nich w punkcie E.
Punkty D, E są punktami stałymi T, a więc i wszystkie punkty należące do k są punktami stałymi. Stąd T(X)=X.
Z (*) i (**) zachodzi teza.
c. b. d. o.