udowodnić tożsamość

[Mars1990]

Witam wszystkich!
Otóż...mój matematyk dał mojej klasie zadanie do zrobienia na zasadzie 'kto pierwszy ten lepszy'. No i nagrodą są dwie szósteczki ^^
Ale...po iluś tam stronach liczenia na przeróżne sposoby...nie udało mi się rozwiązać tego zadania. Tak więc proszę was o jakieś wskazówki, jak ugryźć, od czego zacząć. A oto owa tożsamość:
\(\displaystyle{ \tan^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \tan^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = 5}\)

Z góry dzięki za wszelką pomoc ; )

[schmude]

Na szybko to powiem ci tyle ze zapisz tg jako sin/cos. Potem uzyj sztuczki "pomnoz i podziel" licznik i mianownik przez te sama liczbe - jak masz aspiracje na 6 to sie domyslisz przez jaka. Potem korzystajac z wzorow na sinus podwojonego kata i redukcyjnych doprowadzisz do postaci \(\displaystyle{ (4sin36sin72)^2}\)

Jutro moge sie pobawic w latexa i to zapisac.

[meninio]

Cały problem tkwi w wyznaczeniu wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta o mierze: \(\displaystyle{ 18^o, 36^o, 72^o}\). Przyjrzyjmy sie poniższemu rozumowaniu:
\(\displaystyle{ \sin 72=2 \sin 36 \cos 36 \\ \cos 18=4 \sin 18 \cos 18 (1-2 \sin^218) 1=4 \sin 18(1- 2 \sin^218 )}\)

Dostaliśmy równianie w którym wartość \(\displaystyle{ \sin 18}\) potraktujemy jak nie wiadomą i zrobimy podstawienie: \(\displaystyle{ x= \sin 18}\)
Wtedy dostajemy
\(\displaystyle{ 1=4x(1-2x^2) 8x^3-4x+1=0 2 ft( x- \frac{1}{2}\right) ft( 4x^2+2x-1\right)=0 \\ \sqrt{\Delta}= 2 \sqrt{5} x= \frac{-1- \sqrt{5}}{4} x= \frac{-1+ \sqrt{5}}{4}}\)

Mamy trzy rozwiązania naszego równania: \(\displaystyle{ x \lbrace \frac{1}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{4}, \frac{-1+ \sqrt{5}}{4} \rbrace}\)

Dwa pierwsze rozwiązania odrzucamy (zastanów sie dlaczego, bo to jest ważne). Czyli po obliczeniach dochodzimy do wniosku, że: \(\displaystyle{ \sin 18= \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)

Wróćmy teraz do twojego zadania. Mamy wykazać cos takiego:
\(\displaystyle{ \tan^236*tan^272=5 \tan 36 \tan 72=\sqrt{5} \\ \\ L= \frac{ \sin 36 \sin 72}{\cos 36 \cos 72}= \frac{2 \sin 18 \cos 18 *2 \sin 36 \cos 36}{\cos 36 (1-2 \sin^236)} = \frac{8 \sin ^218 \cos^2 18}{1-2 \sin^236}= \frac{8 \sin^218(1-sin^218)}{1-8 \sin^218 \cos ^218} = \\ \\ =\frac{8 \sin^218(1-sin^218)}{1-8 \sin^218 (1- \sin ^218)}}\)

Wiemy, że: \(\displaystyle{ \sin 18= \frac{\sqrt{5}-1}{4} \sin ^218= \frac{3-\sqrt{5}}{8} 1- \sin ^218= \frac{5+ \sqrt{5}}{8}}\) i wstawiamy to wyżej:

\(\displaystyle{ L= \frac{8 *\frac{3-\sqrt{5}}{8}*\frac{5+ \sqrt{5}}{8}}{1-8* \frac{3-\sqrt{5}}{8}*\frac{5+ \sqrt{5}}{8}} = \frac{ \frac{10-2 \sqrt{5}}{8} }{1- \frac{10-2 \sqrt{5}}{8} } = \frac{10- 2 \sqrt{5}}{8}* \frac{8}{-2+2 \sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}}\)

Pozbywamy sie niewymierności z mianownika:
\(\displaystyle{ L=\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} * \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{4 \sqrt{5}}{4}= \sqrt{5} =P}\) c.n.d.!!!!

Pozdro!

[Mars1990]

Łojezuś. Dzięki wielkie. Tylko nie wiem czy to zaliczy. Bo coś tam marudził, że ma to być na samych przekształceniach bla bla, bez żadnych wartości itp. Ciekawe czy da się tak w ogóle ^^