Zadania testowe - trygonometria

[Stonek]

Witam,

Mam problem z rozwiązaniem niektórych zadań z trygonometrii.
Prosiłbym o WIELKĄ pomoc w rozwiązaniu i w miarę rozsądne wytłumaczenie. Będę bardzo wdzięczny.

A oto zadnia:

ZAD. 1
Niech a = sin2, b = cos2. Wówczas:
a) a = b
b) a > b
c) a < b


ZAD. 2
Z tego, że cos \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \alpha}\) może byc równe:
a) \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{3}}\)
b) \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{2\Pi}{3}}\)
c) \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{6}}\)

ZAD. 3
Z warunku ctg \(\displaystyle{ \alpha}\) = 2 wynika, że:
a) sin \(\displaystyle{ \alpha}\) > 0 i cos \(\displaystyle{ \alpha}\) > 0
b) sin \(\displaystyle{ \alpha}\) < 0 i cos \(\displaystyle{ \alpha}\) < 0
c) sin (\(\displaystyle{ \alpha}\) + \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{2}}\)) \(\displaystyle{ *}\) cos (\(\displaystyle{ \alpha}\) + \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{2}}\)) < 0

Miałbym jeszcze prośbę, aby ktos mi wyjaśnił co to jest w/w warunek ctg \(\displaystyle{ \alpha}\) = 2 (o co z nim chodzi)


ZAD.4
Czy następujące zdania są prawdziwe:
a) istnieje liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) taka, że sin \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{12}{37}}\) i cos \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ \frac{35}{37}}\)
b) istnieje liczba \(\displaystyle{ \alpha}\) taka, że sin \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) i cos \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
c) istnieją liczby b i \(\displaystyle{ \alpha}\) takie, że sin \(\displaystyle{ \alpha}\) = b + \(\displaystyle{ \frac{1}{b}}\)


Bardzo dziękuje za wszelką pomoc w zrozumieniu zadań oraz w rozwiązaniu ich.

[Wicio]

1) c
Po prostu sprawdzasz wartość sinusa i cosinusa dla kąta 2

2) a
Bo sinus 1/2 to pi/3 a wiemy , ze w cosinusie okres to 2pi więc skoro odejmiemy 2pi to taka sama wartość będzie zaś gdy odejmiemy pi wówczas będzie ta sama wartość tylko ze zmienionym znakiem

3) hmmm raczej nie jest to odpowiedź b , wydaje mi się, że c choć a tez mi pasuje
A z tym warunkiem to chyba chodzi o to , że cotangensa jakiego kata równa się 2 i na podstawie tego rozpatrujemy sinusa owego kata i cosinusa

4) prawdziwe na pewno a , zaś b na pewno fałszywe. a co do c to również prawdziwe, bo:
w podpunkcie a i b rozpatrujesz czy \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} =r ^{2}}\) gdzie r to mianowniki w obu przypadkach zaś x to licznik cosinusa, zas y to licznik sinusa - jak miałeś wstęp do funkcji to na pewno rysowałeś na układzie współrzędnych i wypisywałeś zależności między x,y,r.
A w przykładzie c rozwiązujesz dwie nierówności - gdy prawa strona < 1 i gdy prawa strona >-1 i patrzysz czy jest cześć wspólna- bo wiemy , ze sinus to przedział od

[frej]

co do zadania nr \(\displaystyle{ 3}\) , to poprawny jest podpunkt \(\displaystyle{ c}\), bo skoro \(\displaystyle{ \cot}\) jest dodatni, to \(\displaystyle{ \sin i \cos}\) mają ten sam znak. Przy pomocy wzorów redukcyjnych lekko przekształć równanie \(\displaystyle{ c}\), a skoro mają taki sam znak, to ich iloczyn jest większy od \(\displaystyle{ 0}\)

zadanie \(\displaystyle{ 4}\)
dwa pierwsze podpunkty liczysz z jedynki trygonometrycznej i sprawdzasz, czy się zgadza (tak chyba będzie najprościej), w sensie czy \(\displaystyle{ \sin^2{x} + \cos^2{x}=1}\) ( praktycznie to to samo, co mówił Wicio), .W ostatnim podpunkcie nie można tak zrobić, bo \(\displaystyle{ \left| \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}\right| qslant 2}\)

[Wicio]

Co do ostatniego podpunktu to skąd to "a" wytrzasnąłeś jak "a" to alfa czyli kąt ;p

[frej]

Wicio, to było tak ogólnie.

W naszym przypadku \(\displaystyle{ a=1}\) Chodzi o wyrażenie \(\displaystyle{ \left| \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}\right| qslant 2}\), które w naszym przypadku wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left| \frac{b}{1}+ \frac{1}{b}\right| = ft| b + \frac{1}{b}\right| qslant 2}\)

Skoro wiemy, że
\(\displaystyle{ \left| \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}\right| qslant 2 \quad ft| \sin {\alpha}\right| qslant 1}\) to te zdanie jest fałszywe

[Stonek]

Dzięki za pomoc, ale niestety nie wszystkie Wasze odpowiedzi zgadzają się z odpowiedziami z tyłu podręcznika.

Odpowiedzi wg podręcznika są następujące:
ZAD.1 b)
ZAD.2 b)
ZAD.3 c)
ZAD.4 a)

Jeszcze raz bym prosiłbym nad przemyśleniem tych zadań i pomoc w rozwiązaniu.

[Wicio]

2)
\(\displaystyle{ cos = - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a=\pi- (-\frac{\pi}{3})=\frac{4}{3} \pi}\)

Lub

\(\displaystyle{ a=-\pi- (-\frac{\pi}{3})=-\frac{2}{3} \pi}\)

[frej]

no to jeszcze może zrobię a)

\(\displaystyle{ {\pi \over 2} }\)

[Stonek]

no to jeszcze może zrobię a)

\(\displaystyle{ {\pi \over 2}}\)

[frej]

Stonek,

drugie zadanie nie jest zrobione przy pomocy wykresu funkcji

co do zadanie pierwszego jest to zauważasz, że na tym przedziale, który podałem funkcja sinus przyjmuje wartości większe niż funkcja cosinus. Tak jest najprościej. To też jest rozwiązanie matematyczne

[Stonek]

a ktoś pomoże jeszcze rozwiązać pozostałe zadania?