Uzasadni że :
a) \(\displaystyle{ \sqrt{3}ctg \frac{\pi}{9}-4cos \frac{\pi}{9}=1}\)
b) \(\displaystyle{ tg \frac{\pi}{9}+ 4sin \frac{\pi}{9}=\sqrt{3}}\)
Uzasadni, że tg+ctg+....
-
wjzz
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 18 razy
Uzasadni, że tg+ctg+....
Zrobię pierwszy podpunkt, drugi robi się analogicznie:
1. Dla skrótu oznaczam \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{9}}\). Będę tak długo przekształcał to równanie aż dojdę do czegoś co wiemy, że jest prawdziwe.
Następujące równania są równoważne
\(\displaystyle{ \sqrt{3} ctg x -4cos x=1}\) {\(\displaystyle{ ctg{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \frac{\cos{x}}{\sin{x}} -4cos x=1}\) {mnożymy przez \(\displaystyle{ \sin{x}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -4\cos{x}\sin{x}=\sin{x}}\) {\(\displaystyle{ \sin{2y} = 2\sin{y} cos{y}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -2\sin{2x}=\sin{x}}\) { to na lewo, tamto na prawo }
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -\sin{x}= 2\sin{2x}}\) { dzielimy przez 2 }
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x} -\frac{1}{2}\sin{x}= \sin{2x}}\)
{ Teraz jest w sumie największa trudność - trzeba skojarzyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) to wartości, odpowiednio, funkcji sinus i cosinus w punkcie (na przykład) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Możemy przez to napisać tak:}
\(\displaystyle{ \cos{\frac{\pi}{6}} \cos{x} -\sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}= \sin{2x}}\) {\(\displaystyle{ \cos({z+y}) = \cos{z}\cdot\cos{y} - \sin{z}\cdot\sin{y}}\)}
\(\displaystyle{ \cos({\frac{\pi}{6}}+x) = \sin{2x}}\) {\(\displaystyle{ \cos{y} = \sin({\frac{\pi}{2} - y})}\)}
\(\displaystyle{ \sin({\frac{\pi}{2} - {\frac{\pi}{6}} - x) = \sin{2x}}\)
\(\displaystyle{ \sin({\frac{\pi}{3} - x) = \sin{2x}}\)
Ostatnia równość jest prawdziwa, bo przyjęliśmy \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{9}}\) a można łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ {\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9} = 2 \frac{\pi}{9}}\).
1. Dla skrótu oznaczam \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{9}}\). Będę tak długo przekształcał to równanie aż dojdę do czegoś co wiemy, że jest prawdziwe.
Następujące równania są równoważne
\(\displaystyle{ \sqrt{3} ctg x -4cos x=1}\) {\(\displaystyle{ ctg{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \frac{\cos{x}}{\sin{x}} -4cos x=1}\) {mnożymy przez \(\displaystyle{ \sin{x}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -4\cos{x}\sin{x}=\sin{x}}\) {\(\displaystyle{ \sin{2y} = 2\sin{y} cos{y}}\)}
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -2\sin{2x}=\sin{x}}\) { to na lewo, tamto na prawo }
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cos{x} -\sin{x}= 2\sin{2x}}\) { dzielimy przez 2 }
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x} -\frac{1}{2}\sin{x}= \sin{2x}}\)
{ Teraz jest w sumie największa trudność - trzeba skojarzyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) to wartości, odpowiednio, funkcji sinus i cosinus w punkcie (na przykład) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\). Możemy przez to napisać tak:}
\(\displaystyle{ \cos{\frac{\pi}{6}} \cos{x} -\sin{\frac{\pi}{6}}\sin{x}= \sin{2x}}\) {\(\displaystyle{ \cos({z+y}) = \cos{z}\cdot\cos{y} - \sin{z}\cdot\sin{y}}\)}
\(\displaystyle{ \cos({\frac{\pi}{6}}+x) = \sin{2x}}\) {\(\displaystyle{ \cos{y} = \sin({\frac{\pi}{2} - y})}\)}
\(\displaystyle{ \sin({\frac{\pi}{2} - {\frac{\pi}{6}} - x) = \sin{2x}}\)
\(\displaystyle{ \sin({\frac{\pi}{3} - x) = \sin{2x}}\)
Ostatnia równość jest prawdziwa, bo przyjęliśmy \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{9}}\) a można łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ {\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{9} = 2 \frac{\pi}{9}}\).