2 równania.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
blogger
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 30 kwie 2008, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn

2 równania.

Post autor: blogger »

\(\displaystyle{ 2sinx + 2sinxcosx = cosx + 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-sinx}{cosx-sinxcosx} = \sqrt{3}}\)

Dzięki.
matshadow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 941
Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kingdom Hearts
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 222 razy

2 równania.

Post autor: matshadow »

1)
\(\displaystyle{ 2sinx + 2sinxcosx = cosx + 1\\2sinx(1+cosx)=1+cosx\\2sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\vee x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x-sinx}{cosx-sinxcosx} = \sqrt{3}\\
\frac{sinx(1-sinx)}{cosx(1-sinx)} = -\sqrt{3}\\
tgx=-\sqrt{3}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi}\)
czarny_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 7 maja 2008, o 17:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hajnówka
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

2 równania.

Post autor: czarny_89 »

Poprawka do pierwszego przykładu.
Nie możesz podzielić równania przez
\(\displaystyle{ \left(1+ cosx \right)}\)
mimo, że jest znak równości, ale z funkcjami trygonometrycznymi tka się nie postępuje, wtedy nie wyjdą Ci wszystkie rozwiązania.

Oprócz tego co napisałeś:
\(\displaystyle{ 2sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\vee x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi}\)

Powinno być jeszcze:
\(\displaystyle{ cosx = -1\\ x = \pi + 2k\pi}\)


///Edit:
W drugim przykładzie też jest rażący błąd.
\(\displaystyle{ \frac{sin ^{2}x-sinx }{cosx-sinxcosx}= \sqrt{3} \\}\)

Przedstawiamy w postaci:

\(\displaystyle{ \frac{sinx \left(1-sinx \right) }{cosx \left(1-sinx \right) }= -\sqrt{3}}\)

Następnie:

\(\displaystyle{ \frac{sinx \left(1-sinx \right)+\sqrt{3}cosx \left(1-sinx \right) }{cosx \left(1-sinx \right) }= 0}\)

Z powyższego równania możemy teraz wyjść z założenia:

\(\displaystyle{ cosx \neq 0 \wedge sinx \neq 1 \\
(1-sinx)(sinx+ \sqrt{3} cosx) =0 -> (sinx+ \sqrt{3} cosx) =0}\)


Mnożymy wyrażenie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), tak aby zwinąć równanie w wzór dla kątów .

Wychodzi:
\(\displaystyle{ sinx \frac{1}{2} + cosx \frac{\sqrt{3}}{2} = 0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ sinx cos \frac{\pi}{3} + cosx sin\frac{\pi}}{3} = 0}\)

Z tego wynika:
\(\displaystyle{ sin(x+ \frac{\pi}{3})=0}\)

I na sam koniec:
\(\displaystyle{ x + \frac{\pi}{3} = k\pi\\
x= - \frac{\pi}{3} + k\pi , k C}\)


Pozdrawiam
Mam nadzieję, że pomogłem.
matshadow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 941
Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kingdom Hearts
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 222 razy

2 równania.

Post autor: matshadow »

1) jak doszedłeś w 1szym do tego, że \(\displaystyle{ cosx=-1}\)
2) na czym polega mój błąd w zadaniu 2?
czarny_89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 7 maja 2008, o 17:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hajnówka
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

2 równania.

Post autor: czarny_89 »

1)
\(\displaystyle{ 2sinx(1+cosx)=1+cosx}\)
Wyrażenie po prawej stronie przenosisz na lewą stronę:
\(\displaystyle{ 2sinx(1+cosx)-(1+cosx)=0\\
(2sinx-1)(1+cosx)=0\\
cosx=-1 2sinx=1}\)


Zd. 2
Nie możesz skracać wyrażenia. Przenosisz wszystko na jedną stronę w pierwszym swoim poście wyjaśniłem, dlaczego tak trzeba robić.

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ