zadanie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
koliber1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 59 razy

zadanie

Post autor: koliber1000 »

Suma dlugosci dwoch bokow trojkata jest rowna 6 cm, a miara kata miedzy tymi bokami wynosi 120 stopni. Jaka najmniejsza dlugosc moze miec trzeci bok tego trojkata?
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

zadanie

Post autor: meninio »

z tw. cos:
\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2-2xy \cos 120^o \\ z^2=(x+y)^2-2xy-2xy \cos ft(90^o+30^o \right) \\z^2=36-2xy+2xy \sin 30^o \\z^2=36-2xy+xy \\z^2=36-xy}\)

wiemy, że \(\displaystyle{ x+y=6 y=6-x}\)

\(\displaystyle{ z^2=36-x(6-x) \\ z^2=x^2-6x+36 z=\sqrt{x^2-6x+36 }}\)

Długość boku jest najmniejsza, kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem przyjmuje wartość najmniejszą. Zbadamy to na dwa sposoby:
1) jako wierzchołek paraboli:
\(\displaystyle{ z=z_{min} x= \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} =3}\)

2) pochodną, znajdziemy ekstremum funkcji:
\(\displaystyle{ \left(x^2-6x+36 \right) '=0 \\ 2x-6=0 \\ x=3}\)

Czyli gdy x=3 i y=3 długość boku z przyjmuje wartość najmniejszą i wynosi:
\(\displaystyle{ z_{min}=\sqrt{x^2-6x+36 }|_{x=3} \\ z_{min}=\sqrt{3^2-6*3+36} \\ z_{min}=\sqrt{27} \\z_{min}=3\sqrt{3}}\)

Pozdro
ODPOWIEDZ