wykaż

[koliber1000]

W trojkacie ac = 4:5:6. Korzystajac ze wzoru \(\displaystyle{ cos2\alpha = 2cos ^{2}\alpha - 1,}\)
wyka ze ze w tym trojkacie\(\displaystyle{ \gamma= 2\alpha}\)

[wjzz]

Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie kątem przy wierzchołku C, \(\displaystyle{ \alpha}\) przy A.
Ponieważ ac = 4:5:6 to \(\displaystyle{ a = 4x, b = 5x, c = 6x}\), gdzie \(\displaystyle{ x = \frac{a}{4}}\)

Korzystając dwukrotnie z tw. cosinusów dostajemy:

\(\displaystyle{ a ^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos{\alpha}}\)
\(\displaystyle{ 4^2 x^2 = 6^2 x^2+ 5^2 x^2 - 2 5x\cdot 6x\cdot cos{\alpha} cos{\alpha} = \frac{3}{4}}\)

oraz
\(\displaystyle{ c ^2 = b^2 + a^2 - 2ba*cos{\gamma}}\)
\(\displaystyle{ 6^2 x^2 = 5^2 x^2 +4^2 x^2 - 2 5x 4x cos{\gamma} cos{\gamma} = \frac{1}{8}}\)

Mamy teraz: \(\displaystyle{ cos{2\alpha} = 2cos^2{\alpha} - 1 = \frac{1}{8} = cos{\gamma}}\)

Funkcja cosinus jest na przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi)}\) różnowartościowa, więc z ostatniego równania dostajemy \(\displaystyle{ 2\alpha = \gamma}\). Szczegóły rachunków do samodzielnego sprawdzenia.

[meninio]

A skąd wiesz, że boki mają długość 4,5,6?? A nie 8,10,12 albo 12,15,18?

Wynik jest dobrze. Tylko, żeby to było w miarę poprawne rozumowanie to trzeba w miejsce 4 dać 4x, w miejsce 5 5x, a w miejsce 6 6x. Wtedy będzie od początku do końca poprawnie.

Pozdro!!

[wjzz]

Dziękuję, już poprawiam. Myślałem, że to taki skrótowy zapis równości