Rozwiąż równanie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: wb »

\(\displaystyle{ sin^{2003}x-cos^{2003}x=1}\)
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Wasilewski »

Może tak:
\(\displaystyle{ f(x) =sin^{2003}x - cos^{2003} x \\
f'(x) = 2003sin^{2002}x cosx + 2003cos^{2002}x sinx =2003 sinx cosx (sin^{2002}x + cos^{2002}x) = 0 \\
sinx = 0 cosx = 0 sin^{2002}x = -cos^{2002}x}\)

Ostatnie równanie nie ma rozwiązań, bo lewa strona ma inny znak niż prawa i nie ma takiej możliwości, by obie były równe 0. Wobec tego mamy takich kandydatów na ekstrema:
\(\displaystyle{ x = \frac{k\pi}{2}}\)
Sprawdźmy, co się dzieje w jednym okresie:
\(\displaystyle{ x= 0 \\
sin^{2003}0 - cos^{2003}0 = -1 \\
x = \frac{\pi}{2} \\
sin^{2003} \frac{\pi}{2} - cos^{2003} \frac{\pi}{2} = 1 \\
x = \pi \\
sin^{2003}\pi - cos^{2003}\pi = 0 - (-1) = 1 \\
x = \frac{3\pi}{2} \\
sin^{2003} \frac{3\pi}{2} - cos^{2003} \frac{3\pi}{2} = -1}\)

Skoro maksimum jest równe 1, to wiadomo, że tylko te wartości spełniają równanie. Zatem rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi x = \pi + 2k\pi}\)
darkangel36
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 15:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: darkangel36 »

Takie małe pytanie mam. skoro piszesz przykładową odpowiedz : \(\displaystyle{ x= \pi + 2k\pi}\)
to czy nie powinno sie dopisac, ze : \(\displaystyle{ k C}\) ?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Wasilewski »

Raczej: \(\displaystyle{ k Z}\)
Wszak C to oznaczenie zbioru liczb zespolonych. Tak, powinno być, ale mi się nie chciało.
ODPOWIEDZ