Równanie trygonometryczne

[kowalmg]

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ sinx + sin2x + sin3x = 4cosxcos \frac{x}{2}cos \frac{3x}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4cosxcos \frac{x}{2}cos \frac{3x}{2}}\) zamienilem na \(\displaystyle{ 2cosx(cosx + cos2x)}\)

Po rozpisaniu otrzymujemy

\(\displaystyle{ sinx + 2sinxcosx + sinx( 3cos^{2}x - sin^{2}x) - 2cosx(cosx + cos^{2}x - sin^{2}x)=0}\)

Jak to ruszyć dalej?

[JankoS]

Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + sin3x = 4cosxcos \frac{x}{2}cos \frac{3x}{2}}\)

\(\displaystyle{ sinx + sin2x + sin3x = 4cosxcos \frac{x}{2}cos \frac{3x}{2}}\)
Zacznę od lewej strony
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + sin3x = 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2sin\frac{5x}{2}cos\frac{x}{2}=
2cos\frac{x}{2}(sin\frac{5x}{2}+sin\frac{x}{2})=4cos\frac{x}{2}sin\frac{3x}{2}cosx}\)
Teraz wracam do równania. Przenoszę prawą stronę na lewą i wyłączam wspólny czynnik przed nawias.
\(\displaystyle{ 4cosxcos \frac{x}{2}(sin\frac{3x}{2}-cos \frac{3x}{2})=0 ( \ (*) \ cosx=0 \ (**) \ cos \frac{x}{2}=0 \ (***) \ sin\frac{3x}{2}-cos \frac{3x}{2})=0)}\)
\(\displaystyle{ (*) \ cosx=0=cos\frac{\pi}{2} x=\frac{\pi}{2}+k\pi.}\)
\(\displaystyle{ (**) \ cos \frac{x}{2}=0=cos\frac{\pi}{2} \frac{x}{2}=
\frac{\pi}{2}+k\pi x=\pi +2k\pi .}\)
\(\displaystyle{ (***) \ sin\frac{3x}{2}=cos \frac{3x}{2})=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}) (\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}+2k\pi \frac{3x}{2}=\pi}- (\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2})+2k\pi) x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}.}\)