sin i cos

[Elemelek]

mam takie równanie: \(\displaystyle{ sinx+sin2x+sin3x=4cosxcos \frac{x}{2}cos \frac{3x}{2}}\).
Są na to jakieś wzory?

[enigm32]

Są różne możliwości, ale pierwsze co mi przyszło do głowy, to np. skorzystanie z takich wzorów/tożsamości:
\(\displaystyle{ sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}\\
sin2a=2sinacosa}\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ sinx+sin3x+sin2x=4cosxcos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
2sin\frac{x+3x}{2}cos\frac{x-3x}{2}+2sinxcosx=4cosxcos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
2sin2xcosx+2sinxcosx=4cosxcos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
2cosx(sin2x+sinx)=4cosxcos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
sin2x+sinx=2cos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
sin\frac{2x+x}{2}cos\frac{2x-x}{2}=cos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
sin\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}=cos\frac{x}{2}cos\frac{3}{2}x\\
sin\frac{3}{2}x=cos\frac{3}{2}x}\)
...
Gdy dzielimy przez \(\displaystyle{ cos\frac{x}{2}}\) i \(\displaystyle{ cosx}\) to należy założyć, że liczby te są różne od zera i sprawdzić, czy gdy przyjmują wartość zero, to spełniają równanie (jeśli tak, to należy je dołączyć do roziązania)

[Elemelek]

hehe ale co mam z tym dalej zrobić bo nic mi z tego nie wychodzi

[enigm32]

No teraz wystarczy, że rozwiążesz to proste równanie i koniec zadania.
\(\displaystyle{ sin\frac{3}{2}x=cos\frac{3}{2}x\\
cos(\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}x)=cos\frac{3}{2}x\\
\frac{\pi-3}{2}x=\frac{3}{2}x+2k\pi -\frac{\pi-3}{2}x=\frac{3}{2}x+2l\pi}\)

Wyznaczasz x i masz rozwiązania.