rozwiaz rownanie

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
anka652
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 kwie 2008, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Janow

rozwiaz rownanie

Post autor: anka652 »

\(\displaystyle{ \frac{1+sinx+...+sin^{n}x+...}{1-sinx+...+(-1)^{n}sin^{n}x+...} = \frac{4}{1+tg^{2}x}}\)
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: JankoS »

anka652 pisze:\(\displaystyle{ \frac{1+sinx+...+sin^{n}x+...}{1-sinx+...+(-1)^{n}sin^{n}x+...} = \frac{4}{1+tg^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ 1+sinx+...+sin^{n}x+...=\frac{1}{1-sinx} \ dla \ x \frac{\pi}{2}+k\pi. \ Dla \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ (k Z) \ suma \ nie \ istnieje. \}\)
\(\displaystyle{ 1-sinx+...+(-1)^{n}sin^{n}x+...=1+sin ^{2}x+sin ^{4}x+...-(sinx+sin ^{3}x+sin ^{5}x+,,,)=\frac{1}{1-sin ^{2}x}-\frac{sinx}{1-sin ^{2}x}=\frac{1-sinx}{1-sin ^{2}x} \ dla \ x \frac{\pi}{2}+k\pi. \ Dla \ x=\frac{\pi}{2}+k\p \ suma \ nie \ istnieje \ (k Z).}\)
Podstawiam wyliczenia do lewej strony równania.
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-sinx} \frac{(1+sinx)(1-sinx)}{1-sinx}=\frac{1+sinx}{1-sinx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+sinx}{1-sinx}=\frac{4}{1+tg ^{2}x}=\frac{4cos ^{2}x}{cos ^{2}x+sin ^{2}x}=4(1-sin ^{2}x)=4(1+sinx)(1-sinx) \\ 1+sinx=4(1+sinx)(1-sinx) ^{2} \\ 4(1+sinx)(1-sinx) ^{2}-(1+sinx)=0 }\)
\(\displaystyle{ (1+sinx) ft( 4(1-sinx) ^{2}-1\right)=0 \\ ft( 2(1-sinx)+1\right) ft(2(1-sinx)-1 \right) \\ (3-2sinx)(1-2sinx)=0 (2sinx=3 2sinx=1) sinx=\frac{1}{2}=sin\frac{\pi}{6} (x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi).}\)
Awatar użytkownika
RyHoO16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

rozwiaz rownanie

Post autor: RyHoO16 »

Korzystając z faktu, że w mianowniku i liczniku masz nieskończony ciąg geometryczny. Możemy nasze równanie zapisać tak:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{1-sinx} }{ \frac{1}{1+sinx} }= \frac{4}{1+ tg^2 x}}\)
Teraz po paru ładnych przekształceniach dojdziemy do takiej postaci:

\(\displaystyle{ 1+sinx=(4-4sinx)(1-sin^2x) \iff x= \frac{\pi}{6}+2k \pi}\)

Mam nadzieje, że większych błędów z mojej strony niema. Jeżeli są to i tak wiesz jak zrobić zadanie
ODPOWIEDZ