W trójkącie ABC mamy dane: |AB| = 18 cm, tg|A| = \(\displaystyle{ \frac{8}{15}}\) i cos|B| = \(\displaystyle{ \frac{-3}{5}}\) . Oblicz długości boków AC i BC.
znak |?| to kąt. nie mogłam znaleźć oznaczenia do tego..
odpowiedź to |AC| = 34 cm, |BC| = 20 cm. pytanie tylko jak do tego dojść...
mam nadzieję, że ktoś będzie wiedział jak mi pomóc... z góry dziękuję!
zadanie z treścią - oblicz długość boków trójkąta z f. tryg.
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
zadanie z treścią - oblicz długość boków trójkąta z f. tryg.
Można by używać twierdzenia cosinusów, ale wydaje mi się, że taki sposób będzie lepszy:
Narysuj sobie ten trójkąt ABC, kąt B jest rozwarty (bo cos ujemny) i zaznacz wysokość z wierzchołka C, niech przecina się z przedłużeniem boku w punkcie D. Niech odcinek BD = x, a odcinek CD = h.
\(\displaystyle{ \frac{x}{CB} = \frac{3}{5} \\ \frac{h}{CB} = \frac{4}{5} \frac{x}{h} = \frac{3}{4} \\ \frac{h}{18+x} = \frac{8}{15}}\)
Z tych równań bardzo łatwo, bez kalkulatora, można wyliczyć CB=20, x=12 oraz h=16, które się przyda do obliczenia boku AC. Żeby go wyliczyć przydałby się sinus A. Jego też łatwo obliczyć:
\(\displaystyle{ tg = \frac{sin }{cos } = \frac{sin }{ \sqrt{1-sin^{2} }} = \frac{8}{15}}\)
Podnosimy obustronnie do kwadratu, i wychodzi ładnie \(\displaystyle{ sin = \frac{8}{17}}\)
A więc: \(\displaystyle{ \frac{h}{AC} = \frac{16}{AC} = \frac{8}{17} AC = 34}\)
Narysuj sobie ten trójkąt ABC, kąt B jest rozwarty (bo cos ujemny) i zaznacz wysokość z wierzchołka C, niech przecina się z przedłużeniem boku w punkcie D. Niech odcinek BD = x, a odcinek CD = h.
\(\displaystyle{ \frac{x}{CB} = \frac{3}{5} \\ \frac{h}{CB} = \frac{4}{5} \frac{x}{h} = \frac{3}{4} \\ \frac{h}{18+x} = \frac{8}{15}}\)
Z tych równań bardzo łatwo, bez kalkulatora, można wyliczyć CB=20, x=12 oraz h=16, które się przyda do obliczenia boku AC. Żeby go wyliczyć przydałby się sinus A. Jego też łatwo obliczyć:
\(\displaystyle{ tg = \frac{sin }{cos } = \frac{sin }{ \sqrt{1-sin^{2} }} = \frac{8}{15}}\)
Podnosimy obustronnie do kwadratu, i wychodzi ładnie \(\displaystyle{ sin = \frac{8}{17}}\)
A więc: \(\displaystyle{ \frac{h}{AC} = \frac{16}{AC} = \frac{8}{17} AC = 34}\)