postać iloczynowa

[Marcin_n]

Przedstaw dane wyrażenie w postaci iloczynu wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\)

a)
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta+sin\gamma}\)

b)
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta-sin\gamma}\)

z góry dziękuję;)

[Crizz]

a)\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta+sin\gamma=sin\alpha+sin\beta+sin(\alpha+\beta)=2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2}+2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}=2sin \frac{\alpha+\beta}{2}(cos \frac{\alpha-\beta}{2}+cos \frac{\alpha+\beta}{2})=2sin \frac{\alpha+\beta}{2} 2cos \frac{\alpha}{2}cos \frac{\beta}{2}=4sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha}{2}cos \frac{\beta}{2}}\)

[ Dodano: 28 Kwietnia 2008, 18:03 ]
Drugie zaczynasz analogicznie, dochodzisz do postaci \(\displaystyle{ 2sin \frac{\alpha+\beta}{2}(cos \frac{\alpha-\beta}{2}-cos \frac{\alpha+\beta}{2})}\), co jest równe \(\displaystyle{ 4sin \frac{\alpha+\beta}{2}sin \frac{\alpha}{2}sin \frac{\beta}{2}}\).

[Marcin_n]

dzięki, ale nie za bardzo rozumiem jednego:
\(\displaystyle{ sin(\alpha+\beta)=2sin \frac{\alpha+\beta}{2} cos \frac{\alpha+\beta}{2}}\)

Jak do tego doprowadziłeś?

[Wasilewski]

Niech \(\displaystyle{ \frac{\alpha + \beta}{2} = x + \beta = 2x \\
2sinx cosx = sin2x}\)