Wyznacz zbiór wartości funkcji

[Marcin_n]

Witam. Mam problem z takimi przykładami:

Wyznacz zbiór wartości funkcji:

a) \(\displaystyle{ f(x)=sin ^{2}x-sinxcosx}\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=1+cosx+cos ^{2} \frac{x}{2}}\)
c)\(\displaystyle{ y=cosx+cos \frac{x}{2}}\)
d)\(\displaystyle{ y=sin(x- \frac{\pi}{6})+sin(x+ \frac{\pi}{6})}\)

(Znam wzory redukcyjne, wzory na f.t. sumy i różnicy kątów, f.t. podwojonego kąta, sumy i różnice sinusów i cosinusów)

Z góry dziękuję;)[/latex]

[Szczech]

Skoro znasz te wzory to je zastosuj
W pierwszym \(\displaystyle{ \ldots= \sin^2{x} -\frac{1}{2}\sin{2x}}\)
W drugim wzór (który znasz ): \(\displaystyle{ {\cos{\frac{x}{2}}}= \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}}}\)
c i d powinny pójść ze wzorów na sumę

[Wasilewski]

W drugim lepiej:
\(\displaystyle{ cosx = 2cos^{2} \frac{x}{2} - 1}\)

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ f(x)=\sin^2x-\sin x\cos x =
\sin x(\sin x-\cos x)=
\sin x\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos x\right]=
\sin x\left[-2\sin \frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]=
-\sqrt{2}\sin x\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=
\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-2\sin x\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]=
\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\cos \frac{\pi}{4}-\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right]=
\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right]=
\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\\
-1 \ qslant\ \cos x\ qslant\ 1\\
-1 \ qslant\ \cos 2x\ qslant\ 1\\
-1 \ qslant\ \cos ft(2x-\frac{\pi}{4}\right)\ qslant\ 1\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}\ qslant\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\ qslant\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\ qslant\ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\ qslant\ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\\
\frac{1-\sqrt{2}}{2}\ qslant f(x)\ qslant\ \frac{1+\sqrt{2}}{2}\\
Z_W=\left[ -\frac{1-\sqrt{2}}{2}; \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]}\)

POZDRO

[Marcin_n]

Dzięki za odpowiedzi. "a", "b" i "d" mi wyszło, ale nadal nie wychodzi mi "c". Czy może mi ktoś pomóc?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ cosx = 2cos^{2} \frac{x}{2} - 1 \\
f(x) = 2cos^{2} \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2} - 1 \\
t = cos \frac{x}{2} \\
f(t) = 2t^2 + t - 1}\)
Minimum w wierzchołku jeśli należy do dziedziny:
\(\displaystyle{ t_w = \frac{-1}{4} f(t_w) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1 = -\frac{9}{8}}\)
Maksimum na którymś z krańców dziedziny:
\(\displaystyle{ f(1) = 2 + 1 -1 = 2 \\
f(-1) = 2 - 1 - 1 = 0}\)
Czyli zbiór wartości to:
\(\displaystyle{ Z_{W} = ft[-\frac{9}{8}, 2\right]}\)