Równanie trygonometryczne

[pavel189]

Mam z równaniem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}= \frac{1}{sin4x}}\)

i podać zbiór rozwiązań w przedziale (-pi:pi)

[enigm32]

\(\displaystyle{ sinx=sin4x\\}\) Wystarczy to rozwiązać:
\(\displaystyle{ x=4x+2k\pi x=\pi-4x+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{2}{3}k\pi x=\frac{\pi(2k+1)}{5}}\)

Nie można zapomnieć o założeniach: \(\displaystyle{ sinx 0 sin4x 0}\)

[pavel189]

a mógłbyś napisać jak to zrobić po kolei, bo sobie powtarzam do matury i wystarcz, że zerkne i będę wiedzieć.

[enigm32]

Ok, już pisze:

[ Dodano: 23 Kwietnia 2008, 16:50 ]
Więc tak, najpierw założenia: mianowniki nie mogą być równe zero:
\(\displaystyle{ \begin{cases}sinx 0\\ sin4x 0 \end{cases}\\
\begin{cases} x m\pi\\4x n\pi \end{cases} \\
\begin{cases}x m\pi\\x \frac{n}{4}\pi \end{cases};m,n C}\)

Wracamy do równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}=\frac{1}{sin4x} sinx=sin4x x=4x+2k\pi x=\pi-4x+2l\pi\\
x=-\frac{2}{3}k\pi x=\frac{\pi(1+2l)}{5};k,l C}\)
Widać, że nasze rozwiązania należą do przedziału \(\displaystyle{ (-\pi;\pi)}\)dla \(\displaystyle{ k=-1 k=0 k=1; l=-2 l=-1 l=0 l=1}\)
Rozwiązania te wtedy są następujące: \(\displaystyle{ x=-\frac{2\pi}{3} x=\frac{2\pi}{3} x=0 =x-\frac{3\pi}{5} x=-\frac{\pi}{5} x=\frac{\pi}{5} x=\frac{3\pi}{5}}\)
Teraz sprawdzając z założeniem, odrzucamy \(\displaystyle{ x=0}\), a reszta jest szukanym rozwiązaniem.
Mam nadzieję, że pomogłem i nigdzie się nie pomyliłem w liczeniu, w razie czego proszę pisać, pzdr.