Równanie trygonometryczne

[Efendi]

Zadanie jest takie:

znaleźć cosx , jeżeli wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos 2x=\cos \frac{2 \pi}{5} \cos \frac{1 \pi}{5}}\)

I jeszcze znaleźć wartość \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}}\)

Z góry dzięki.

[JankoS]

Zadanie jest takie:

znaleźć cosx , jeżeli wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos 2x=\cos \frac{2 \pi}{5} \cos \frac{1 \pi}{5}}\)

I jeszcze znaleźć wartość \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}}\)

Z góry dzięki.

Tu był błąd.

Oznaczę \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{9}.\quad cos3y=\frac{1}{2}=4cos ^{3}y-3cosy.}\) No i to teraz trzeba jakoś rozwiązać. Jest to raczej trudne bez znajomości wzorów Cardano. Łatwiej wyznaczyć szukany cosinus z tr. równobocznego, w którym z jednego z wierzchołków poprowadzono proste dzielące kąt (przy tym wierzchołku) na trzy równe.
Takie zadanie było na forum.

[Efendi]

Chodziłoby mi o jakieś dokładniejsze rozwiązanie 1. Poza tym raczej nie zachodzi \(\displaystyle{ cosx=\frac{\pi}{5}+2k\pi \ lub \ cosx=-\frac{\pi}{5}+2k\pi}\). Może być co najwyżej \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{5}+2k\pi \ lub \ x=-\frac{\pi}{5}+2k\pi}\) a tu nie jest pytanie o x tylko właśnie o cosx.
A w drugim wydawało mi się, że gdzieś widziałem ładniejsze rozwiązanie tego (chociaż mogło mi się tylko wydawać ).

[Jacopo]

1. latwo policzyc z funkcji sumy, roznicy funkcji trygonometrycznych, a dokladnie to z sumy cosinusow >

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node98.html

[Efendi]

Dalej nie wiem Jedyne co wydaje mi się sensowne to zapis w postaci \(\displaystyle{ \cos x \cos 2x = \frac{\cos 54}{2}}\) ale nie wiem jak to ruszyć dalej.

[enigm32]

Zadanie 1.:
\(\displaystyle{ cosxcos2x=cos36^ocos72^o}\)
Zajmijmy się najpierw stroną prawą:
\(\displaystyle{ cos36^ocos72^o=\frac{2sin36^ocos36^o2cos72^o}{4sin36^o}= \frac{2sin72^ocos72^o}{4sin36^o}=\frac{sin144^0}{4sin36^o}=\frac{sin36^o}{4sin36^0}=\frac{1}{4}}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ cosxcos2x=\frac{1}{4}\\
cosx(cos^2x-sin^2x)=\frac{1}{4}\\
cosx(cos^2x-1-cos^2x)=\frac{1}{4}\\
8cos^3x-4cosx-1=0}\)
Podstawiasz pomocniczą niewiadomą
\(\displaystyle{ t=cosx:\\
8t^3-4t-1=0}\)
Rozwiązujesz to nietrudne równanie wielomianowe i koniec:)