Nie mam pomysłu jak rozwiązać coś takiego:
\(\displaystyle{ \left| sinx\right| +cosx =1}\)
równanie sin i cos
-
aga92
- Użytkownik
- Posty: 324
- Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 121 razy
równanie sin i cos
\(\displaystyle{ |sin x| + cos x = 1 |sin x| = 1 - cos x}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x + cos^{2}x = 1 \\ |sin x|^{2}+ cos^{2} x = 1 \\ (1 - cos x)^{2} x + cos^{2} x = 1 \\ 1 - 2 cos x + 2cos^{2} x = 1 \\ - 2 cos x + 2cos^{2} x = 0 \\ cos^{2} x - cos x = 0 \\ cos x ( cos x - 1) = 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ cos x = 0}\) lub \(\displaystyle{ cos x - 1 = 0 cos x = 1}\).
Podstawiając to do równania \(\displaystyle{ |sin x| = 1 - cos x}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos x = 1 \\ |sin x| = 0 \end{cases} x = 2 k \pi}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin {cases} cos x = 0 \\ |sin x| = 1 \end{cases}\Rightarrow x = \frac{ \pi}{2} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x + cos^{2}x = 1 \\ |sin x|^{2}+ cos^{2} x = 1 \\ (1 - cos x)^{2} x + cos^{2} x = 1 \\ 1 - 2 cos x + 2cos^{2} x = 1 \\ - 2 cos x + 2cos^{2} x = 0 \\ cos^{2} x - cos x = 0 \\ cos x ( cos x - 1) = 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ cos x = 0}\) lub \(\displaystyle{ cos x - 1 = 0 cos x = 1}\).
Podstawiając to do równania \(\displaystyle{ |sin x| = 1 - cos x}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos x = 1 \\ |sin x| = 0 \end{cases} x = 2 k \pi}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin {cases} cos x = 0 \\ |sin x| = 1 \end{cases}\Rightarrow x = \frac{ \pi}{2} + k \pi}\)