Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ cos2x+msinx+7=2m}\) ma rozwiązanie.
\(\displaystyle{ 1-2sin^{2}x}+msinx+7-2m=0\\
sinx=t\\
t\in [-1;1]\\
1-2t^{2}+tm+7-2m=0\\
-2t^{2}+mt+8-2m=0\\
\Delta=m^{2}-16m+64\\
m=8\\
\\
-2t^{2}+8t-8=0\\
\Delta=0\\
t=2}\)
2 w rozwiązaniu jest (odp. \(\displaystyle{ m\in }\))
[ Dodano: 19 Kwietnia 2008, 00:09 ]
a dalej, lub jak to zrobić?
parametr m
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
parametr m
Masz rowanie
\(\displaystyle{ -2t^2+mt+8-2m=0\quad t\in[-1;1]\\}\)
Teraz rownanie kwadratowe ma brak, jedno lub dwa rozwiazania. Rozbijamy na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I:\\
\begin{cases}
\Delta=0\\
x_0\in[-1;1]\end{cases}\\
II:\\
\begin{cases}
\Delta>0\\
x_1\in[-1;1]\ \ \ \ x_2\in[-1;1]
\end{cases}}\)
Teraz tylko troche posiedziec i to rozwiazac. POZDRO
\(\displaystyle{ -2t^2+mt+8-2m=0\quad t\in[-1;1]\\}\)
Teraz rownanie kwadratowe ma brak, jedno lub dwa rozwiazania. Rozbijamy na dwa przypadki:
\(\displaystyle{ I:\\
\begin{cases}
\Delta=0\\
x_0\in[-1;1]\end{cases}\\
II:\\
\begin{cases}
\Delta>0\\
x_1\in[-1;1]\ \ \ \ x_2\in[-1;1]
\end{cases}}\)
Teraz tylko troche posiedziec i to rozwiazac. POZDRO
-
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 12 paź 2007, o 20:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wlkp
- Podziękował: 193 razy
- Pomógł: 51 razy
parametr m
Co do I
\(\displaystyle{ \Delta =0\\
m^{2}+8(8-2m)=0\\
m^{2}-16m+64=0\\
\sqrt{(m-8)^{2}}=0\\
\sqrt{\Delta}=|m-8|=0 \Rightarrow m=8 \vee m=-8 (nswz) \\
x_{0}=\frac{-m+8}{2}}\)
i teraz to ma leżeć pomiędzy?
\(\displaystyle{ -1 \leqslant \frac{-m+8}{2} \leqslant 1}\)
Hmm
II
\(\displaystyle{ \Delta > 0\\
m^{2}-16m+64>0\\
\sqrt{\Delta}=|m-8|>0 \Rightarrow m>8 m}\)
\(\displaystyle{ \Delta =0\\
m^{2}+8(8-2m)=0\\
m^{2}-16m+64=0\\
\sqrt{(m-8)^{2}}=0\\
\sqrt{\Delta}=|m-8|=0 \Rightarrow m=8 \vee m=-8 (nswz) \\
x_{0}=\frac{-m+8}{2}}\)
i teraz to ma leżeć pomiędzy?
\(\displaystyle{ -1 \leqslant \frac{-m+8}{2} \leqslant 1}\)
Hmm
II
\(\displaystyle{ \Delta > 0\\
m^{2}-16m+64>0\\
\sqrt{\Delta}=|m-8|>0 \Rightarrow m>8 m}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
parametr m
1.
\(\displaystyle{ \Delta=0\\
m=8\\
t_0=\frac{-m-|m-8|}{-4}\\
m=8:\\
t_0=\frac{-8-|8-8|}{-4}=\frac{-8}{-4}=2\notin [-1;1]\\}\)
Czyli dla pierwszego przypadku nie mamy zadnych rozwiazan. Natomiast dla drugiego:
\(\displaystyle{ m\in\mathbb{R}\backslash\{8,-8\}\\
t_1=\frac{m+|m-8|}{4}\ \ \ t_2=\frac{m-|m-8|}{4}\\}\)
Teraz pamietajac o przedziale rozwiazujesz zgodnie z przyjetym zalozeniem (teraz zauwazylem, ze wystarczy rozwazyc dla jednego przypadku, np pierwszego, bo ma byc chociaz jeden, wiec drugi moze byc gdziekolwiek):
\(\displaystyle{ t_1\in[-1;1]\\
t_1=\frac{m+|m-8|}{4}\\
-1\leqslant \frac{m+|m-8|}{4}\leqslant 1\\
-4\leqslant m+|m-8| qslant 4\\
(\ldots)\\
m\in[-2;6]\\}\)
I masz juz twoja odpowiedz POZDRO
\(\displaystyle{ \Delta=0\\
m=8\\
t_0=\frac{-m-|m-8|}{-4}\\
m=8:\\
t_0=\frac{-8-|8-8|}{-4}=\frac{-8}{-4}=2\notin [-1;1]\\}\)
Czyli dla pierwszego przypadku nie mamy zadnych rozwiazan. Natomiast dla drugiego:
\(\displaystyle{ m\in\mathbb{R}\backslash\{8,-8\}\\
t_1=\frac{m+|m-8|}{4}\ \ \ t_2=\frac{m-|m-8|}{4}\\}\)
Teraz pamietajac o przedziale rozwiazujesz zgodnie z przyjetym zalozeniem (teraz zauwazylem, ze wystarczy rozwazyc dla jednego przypadku, np pierwszego, bo ma byc chociaz jeden, wiec drugi moze byc gdziekolwiek):
\(\displaystyle{ t_1\in[-1;1]\\
t_1=\frac{m+|m-8|}{4}\\
-1\leqslant \frac{m+|m-8|}{4}\leqslant 1\\
-4\leqslant m+|m-8| qslant 4\\
(\ldots)\\
m\in[-2;6]\\}\)
I masz juz twoja odpowiedz POZDRO