Kąty w tym trójkącie mają miary \(\displaystyle{ 90^{0}}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), czyli \(\displaystyle{ \beta = 90^{0} -\alpha }\). \(\displaystyle{ sin \geqslant 0}\) i \(\displaystyle{ cos \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ tg + tg \beta = tg + ctg = \frac{sin }{cos } + \frac{cos }{sin } = \frac{sin^{2} + cos^{2} }{sin cos } = \\ = \frac{sin^{2} - 2 sin cos + cos^{2} + 2 sin cos }{sin cos } = \frac{(sin - cos )^{2}}{sin cos } + 2 \geqslant 0 + 2 = 2}\)
\(\displaystyle{ \tan x + \cot x \geq 2\\
\tan x +\frac{1}{\tan x}-2 \geq 0\\
\tan x -2+\frac{1}{\tan x} \geq 0 \quad | \cdot \tan x\\
\tan ^2x-2\tan x +1 \geq 0\\
(\tan x-1)^2 \geq 0}\)
A jak wiadomo kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny. Mogłem tutaj pomonżyć przez \(\displaystyle{ \tan x}\), poniewaz tangens kąta ostrego jest zawsze dodatni. Ponadto można od razu skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ \bigwedge_{x > 0} x+\frac1x \geq 2}\).
Sylwek ma rację. No tutaj wystarczy sobie udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant2}\) co jest często wykorzystywane i dowód tego jest bardzo prosty. Choć w zasadzie wszyscy to tak zrobili tylko z dowodem tej nierówności na miejscu .
