uprościć wyrażenie sprowadzając je do postaci iloczynowej

[eyepad]

cos0x+cos4x+cos8x+...+cos4nx

ja doszedlem do mniej wiecej

cos2nx*sin[2(n+1)x]/sin2x

ale indukcyjnie mam problemy uzasadnic - pewnie gdzies minimalny blad jest

[JankoS]

cos0x+cos4x+cos8x+...+cos4nx
ale indukcyjnie mam problemy uzasadnic - pewnie gdzies minimalny blad jest

Prawdziwy jest wzór
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \sum_{k=1}^{n} coskx=\frac{sin(n+\frac{1}{2})x}{2sin\frac{x}{2}} \ dla \ x R \ i \ x 2k\pi.}\)
W dowodzie korzysta się ze wzoru 2sinxcosy=sin(x+y)+sin(x-y).
Trzeba go tylko dostosować do zadania Kolegi.

[figiel91]

Mógł by ktoś to rozpisac, bo bardzo nie rozumiem jak dojsc do takiego wzoru

[figiel91]

Jankos: W twoim wzorze nie powinno być jeszcze po prawej stronie \(\displaystyle{ + \frac{1}{2}}\) ?

Co do zadania wyszedł mi ostateczny wynik \(\displaystyle{ \frac{2sin(4nx+4x)cos4nx}{2sin2x}}\). Mam jednak pytanie czy to jest postać iloczynowa? Czy zamienić cos na sin jeszcze?

[JankoS]

Jankos: W twoim wzorze nie powinno być jeszcze po prawej stronie \(\displaystyle{ + \frac{1}{2}}\) ?

Próbowałem sobie przypomnieć skąd wziąłem wzór, ale mi sie nie udało. Z innego \(\displaystyle{ 1+cosx+cos2x+..+cosnx= \frac{cosnxsin \frac{n+1}{2} x}{2sin \frac{x}{2} }}\) mam \(\displaystyle{ cos0+cos4x+cos8x+...+cos4nx=\frac{cosn4xsin \frac{n+1}{2} 4x}{2sin \frac{4x}{2} }= \frac{cos4nxsin2(n+1)x}{2sin2x}}\).