Mam takie zadanie ktore dostalem na konkursie PW:
\(\displaystyle{ sin^{10}x+cos^{10}x=\frac{29}{64}}\)
pzdr, aram
Rownanie trygonometryczne
-
neworder
- Użytkownik
- Posty: 364
- Rejestracja: 11 lis 2004, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MISMaP UW
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
Rownanie trygonometryczne
Też to miałe na PW i leci to tak:
\(\displaystyle{ (sin^{2}x)^{5}=((1-cos^{2}x)^{5})=1-5cos^{2}x+10cos{4}x-10cos^{6}x+5cos^{8}x-cos^{10}x}\)
Równanie ma więc postać (po skróceniu \(\displaystyle{ -cos^{10}x}\):
\(\displaystyle{ 1-5cos^{2}x+10cos^{4}x-10cos^{6}x+5cos^{8}=\frac{29}{64}}\)
Przekształcamy lewą stronę grupując składniki i wyłączając przed nawias:
\(\displaystyle{ 1-5cos^{2}x(1-cos^{6}x)-10cos^{4}x(1-cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)(1+cos^{2}x+cos^{4}x)-10cos^{4}x(1-cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)(1-cos^{2}x+cos^{4}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)((1-cos^{2}x)^{2}+cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)=\\1-5sin^{2}xcos^{2}x=\\1-\frac{5}{4}(2sinxcosx)^{2}=\\1-\frac{5}{4}sin2x}\)
I rozwiązujesz - sprawdź, czy nie machnąłem sięgdzieś w przekształceniach.
\(\displaystyle{ (sin^{2}x)^{5}=((1-cos^{2}x)^{5})=1-5cos^{2}x+10cos{4}x-10cos^{6}x+5cos^{8}x-cos^{10}x}\)
Równanie ma więc postać (po skróceniu \(\displaystyle{ -cos^{10}x}\):
\(\displaystyle{ 1-5cos^{2}x+10cos^{4}x-10cos^{6}x+5cos^{8}=\frac{29}{64}}\)
Przekształcamy lewą stronę grupując składniki i wyłączając przed nawias:
\(\displaystyle{ 1-5cos^{2}x(1-cos^{6}x)-10cos^{4}x(1-cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)(1+cos^{2}x+cos^{4}x)-10cos^{4}x(1-cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)(1-cos^{2}x+cos^{4}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)((1-cos^{2}x)^{2}+cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)=\\1-5sin^{2}xcos^{2}x=\\1-\frac{5}{4}(2sinxcosx)^{2}=\\1-\frac{5}{4}sin2x}\)
I rozwiązujesz - sprawdź, czy nie machnąłem sięgdzieś w przekształceniach.
-
Aram
- Użytkownik
- Posty: 292
- Rejestracja: 19 lut 2005, o 13:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sochaczew
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 9 razy
Rownanie trygonometryczne
Nie wiem skad Ci sie to bierze :
neworder pisze: \(\displaystyle{ \\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)((1-cos^{2}x)^{2}+cos^{2}x)=\\1-5cos^{2}x(1-cos^{2}x)}\)
-
neworder
- Użytkownik
- Posty: 364
- Rejestracja: 11 lis 2004, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MISMaP UW
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
Rownanie trygonometryczne
Oj, faktycznie, źle. Trzeb zacząć od nowa :
\(\displaystyle{ sin^{10}x+cos^{10}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{5}-5sin^{8}xcos^{2}x-10sin^{6}xcos^{4}x-10sin^{4}xcos^{6}x-5sin^{2}xcos^{8}x=\\1-5sin^{2}xcos^{2}(sin^{6}x+2sin^{4}xcos^{2}x+3sin^{2}xcos^{4}x+cos^{6}x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x(sin^{2}x+2cos^2{x})+cos^{4}x(cos^{2}x+2sin^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x(1+cos^{2}x)+cos^{4}x(1+sin^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x+cos{4}x+sin^{2}xcos^{2}x(sin^{2}x+cos^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x((sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-sin^{2}xcos^{2}x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(1-(\frac{1}{4}sin^{2}2x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x+\frac{5}{16}sin^{4}2x}\)
Teraz to już wiadomo, \(\displaystyle{ t=sin^{2}2x}\) i mamy zwykłe równanie kwadratowe.
\(\displaystyle{ sin^{10}x+cos^{10}x=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{5}-5sin^{8}xcos^{2}x-10sin^{6}xcos^{4}x-10sin^{4}xcos^{6}x-5sin^{2}xcos^{8}x=\\1-5sin^{2}xcos^{2}(sin^{6}x+2sin^{4}xcos^{2}x+3sin^{2}xcos^{4}x+cos^{6}x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x(sin^{2}x+2cos^2{x})+cos^{4}x(cos^{2}x+2sin^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x(1+cos^{2}x)+cos^{4}x(1+sin^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(sin^{4}x+cos{4}x+sin^{2}xcos^{2}x(sin^{2}x+cos^{2}x))=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x((sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-sin^{2}xcos^{2}x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x(1-(\frac{1}{4}sin^{2}2x)=\\1-\frac{5}{4}sin^{2}2x+\frac{5}{16}sin^{4}2x}\)
Teraz to już wiadomo, \(\displaystyle{ t=sin^{2}2x}\) i mamy zwykłe równanie kwadratowe.