Mam za zadanie wyznaczyć sinus dla kąta 40*. Chodzi właściwie o dowolny kąt ale to był przykład i tego się trzymam.
Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ A=40° sin3A=3sinA-4sin^{3}A}\)
\(\displaystyle{ sin3A=sin120°=sin(180°-60°)=sin60°}\)
\(\displaystyle{ 3sin40°-4sin^{3}40°=sin60°}\)
\(\displaystyle{ 3sin40°-4sin^{3}40°= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ -8sin^{3}40°+6sin40°-\sqrt{3}=0}\)
I wydaje mi się, że to nam daje wielomian:
\(\displaystyle{ -8x^{3}+6x-\sqrt{3}=0}\)
gdzie"
\(\displaystyle{ x=sin40°}\)
Nic nie udało mi się z tym zrobić znanymi mi metodami. Czy mógłby ktoś pokazać mi co dalej? I czy w ogóle to jest dobrze czy źle...
Sinus dowolnego kąta...
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 kwie 2008, o 16:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Sinus dowolnego kąta...
Obliczeń nie sprawdzałem, ale sam pomysł jest raczej dobry. Równanie można rozwiązać tak:
\(\displaystyle{ x^3 - \frac{3}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
x = z + \frac{1}{4z} \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
t = z^3 \\
t^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}t + \frac{1}{64} = 0}\)
I doszliśmy do równania kwadratowego. Miłego liczenia
\(\displaystyle{ x^3 - \frac{3}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
x = z + \frac{1}{4z} \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
t = z^3 \\
t^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}t + \frac{1}{64} = 0}\)
I doszliśmy do równania kwadratowego. Miłego liczenia
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 kwie 2008, o 16:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
Sinus dowolnego kąta...
Nie wiem skąd wzięły się linijka druga i trzecia... Bo reszta jest zrozumiała, ale nie pokażę nauczycielowi czegoś czego sam nie rozumiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Sinus dowolnego kąta...
Podstawiłem pod x nową zmienną:
\(\displaystyle{ x = z + \frac{1}{4z} \\
x^3 = z^3 + \frac{3z}{4} + \frac{3}{16z} + \frac{1}{64z^3} = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4} (z + \frac{1}{4z}) = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} +\frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \ \| z^3 \\
(z^3)^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}z^3 + \frac{1}{64} = 0}\)
I potem kolejne podstawienie sprowadza to równanie do równania kwadratowego. Niestety potem trzeba wrócić do zmiennej x, ale trzeba się poświęcić dla dobra nauki
\(\displaystyle{ x = z + \frac{1}{4z} \\
x^3 = z^3 + \frac{3z}{4} + \frac{3}{16z} + \frac{1}{64z^3} = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4} (z + \frac{1}{4z}) = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} +\frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \ \| z^3 \\
(z^3)^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}z^3 + \frac{1}{64} = 0}\)
I potem kolejne podstawienie sprowadza to równanie do równania kwadratowego. Niestety potem trzeba wrócić do zmiennej x, ale trzeba się poświęcić dla dobra nauki
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 kwie 2008, o 16:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
Sinus dowolnego kąta...
To już chyba ostatnie pytanie będzie... skąd ten x przy podstawieniu. Przypadkowy wybór czy coś zadecydowało, że ma być to z+(1/4z)?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Sinus dowolnego kąta...
To jest metoda Harriota. Zerknij do Kompendium do artykułu o rozwiązywaniu równań wyższych stopni.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 kwie 2008, o 16:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz