Sinus dowolnego kąta...

[Error_BSOD]

Mam za zadanie wyznaczyć sinus dla kąta 40*. Chodzi właściwie o dowolny kąt ale to był przykład i tego się trzymam.

Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ A=40° sin3A=3sinA-4sin^{3}A}\)
\(\displaystyle{ sin3A=sin120°=sin(180°-60°)=sin60°}\)

\(\displaystyle{ 3sin40°-4sin^{3}40°=sin60°}\)
\(\displaystyle{ 3sin40°-4sin^{3}40°= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ -8sin^{3}40°+6sin40°-\sqrt{3}=0}\)

I wydaje mi się, że to nam daje wielomian:

\(\displaystyle{ -8x^{3}+6x-\sqrt{3}=0}\)

gdzie"

\(\displaystyle{ x=sin40°}\)



Nic nie udało mi się z tym zrobić znanymi mi metodami. Czy mógłby ktoś pokazać mi co dalej? I czy w ogóle to jest dobrze czy źle...

[Wasilewski]

Obliczeń nie sprawdzałem, ale sam pomysł jest raczej dobry. Równanie można rozwiązać tak:
\(\displaystyle{ x^3 - \frac{3}{4} x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
x = z + \frac{1}{4z} \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
t = z^3 \\
t^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}t + \frac{1}{64} = 0}\)
I doszliśmy do równania kwadratowego. Miłego liczenia

[Error_BSOD]

Nie wiem skąd wzięły się linijka druga i trzecia... Bo reszta jest zrozumiała, ale nie pokażę nauczycielowi czegoś czego sam nie rozumiem.

[Wasilewski]

Podstawiłem pod x nową zmienną:
\(\displaystyle{ x = z + \frac{1}{4z} \\
x^3 = z^3 + \frac{3z}{4} + \frac{3}{16z} + \frac{1}{64z^3} = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4} (z + \frac{1}{4z}) = z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \\
z^3 + \frac{1}{64z^3} +\frac{\sqrt{3}}{8} = 0 \ \| z^3 \\
(z^3)^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}z^3 + \frac{1}{64} = 0}\)
I potem kolejne podstawienie sprowadza to równanie do równania kwadratowego. Niestety potem trzeba wrócić do zmiennej x, ale trzeba się poświęcić dla dobra nauki

[Error_BSOD]

To już chyba ostatnie pytanie będzie... skąd ten x przy podstawieniu. Przypadkowy wybór czy coś zadecydowało, że ma być to z+(1/4z)?

[Wasilewski]

To jest metoda Harriota. Zerknij do Kompendium do artykułu o rozwiązywaniu równań wyższych stopni.

[Error_BSOD]

Wielkie dzięki.